2019-2020年高二数学下学期期中试卷 理（含解析） (IV)

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2019-2020年高二数学下学期期中试卷理（含解析）(IV)一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）=（）A．﹣1B．0C．D．13．（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）A．1B．2C．D．e4．（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（）A．B．C．D．5．（5分）用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设正确的是（）A．a+b≤2B．a+b＜2C．a+b≥2D．a+b＞26．（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为（）A．e2B．eC．e2﹣1D．e2+17．（5分）若f（x）=x3﹣ax+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤3C．a＞3D．a≥38．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．若直线a∥b，b∥c，则a∥c．类比推出：若向量∥，∥，则∥B．a（b+c）=ab+ac．类比推出：loga（x+y）=logax+logayC．已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和9．（5分）已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（） A．B．C．D．10．（5分）设点P在直线y=x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（）A．B．C．﹣1D．ln211．（5分）已知a＞b≥2，现有下列不等式：①b2＜3b﹣a；②a3+b3＞a2b+ab2；③ab＞a+b；④+＞+．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③12．（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③若方程f（x）﹣m=0有三个根，则m的取值范围是；④若对∀x∈，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为3．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=．14．（4分）已知函数，则f′（1）=．15．（4分）=． 16．（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…．有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+nanxn﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）nanxn﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，依此类推，我们可得a2n=．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．（12分）已知数列{an}，a1=3，，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣plnx．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的极值．20．（12分）函数f（x）=的图象在点M（1，3）处的切线方程为x+y﹣4=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）m，n∈R，若时，f（x）min≤m2+n2，且存在使得f（x0）≥m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积．21．（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）．（Ⅰ）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（Ⅱ）求动车运行过程中速度的最大值．22．（14分）设f（x）=ex，g（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）．（i）求g（x）的表达式；（ii）令h（x）=f（x）﹣g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；（Ⅱ）求证：． 福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的对应点的坐标判断即可．解答：解：复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣1B．0C．D．1考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：=x2|=，故选：C．点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．3．（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）A．1B．2C．D．e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求导函数，将x=e代入，即可得到斜率．解答：解：求导函数可得y′=lnx+1∴x=e时，y′=lne+1=2，即有在点（e，e）处的切线的斜率是2．故选：B．点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确求导是关键．4．（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（） A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的物理意义，对关于t的函数求导，然后取，计算导数．解答：解：v=s'（t）=（sint）'=cost，所以物体在时的速度为：cos=；故选A．点评：本题考查了导数的物理意义；已知位移关于时间的解析式，对时间求导，得到的导数就是物体的速度与时间的关系式．5．（5分）用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设正确的是（）A．a+b≤2B．a+b＜2C．a+b≥2D．a+b＞2考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：“a+b≤2”的否定是“a+b＞2”，由此可得结论．解答：解：∵“a+b≤2”的否定是“a+b＞2”，∴用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设是“a+b＞2”．故选：D．点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为（）A．e2B．eC．e2﹣1D．e2+1考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义得出直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为S，计算即可．解答：解：设直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的封闭图形的面积为S，根据积分的几何意义得出：S=exdx=ex|=e2﹣e0=e2﹣1故选：C．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题7．（5分）若f（x）=x3﹣ax+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤3C．a＞3D．a≥3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用． 分析：先求出函数的导数，由题意和导数与函数单调性的关系得：f′（x）=3x2﹣a≤0在（0，1）上恒成立，利用二次函数的单调性求出导数的最大值，再求出a的范围．解答：解：由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，∵f（x）=x3﹣ax+1在（0，1）上单调递减，∴f′（x）=3x2﹣a≤0在（0，1）上恒成立，∵f′（x）的最大值是f′（1）=3﹣a，∴3﹣a≤0，解得a≥3，故选：D．点评：本题考查导数与函数的单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，属于中档题．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．若直线a∥b，b∥c，则a∥c．类比推出：若向量∥，∥，则∥B．a（b+c）=ab+ac．类比推出：loga（x+y）=logax+logayC．已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：对于A，=时，结论不成立；对于B，根据对数的运算法则知：loga（x+y）≠logax+logay，不正确；对于C，已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0，不正确．对于D，长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．由勾股定理类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和，正确．故选：D．点评：类比推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．9．（5分）已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（） A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．解答：解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f（x）的图象可能是B，故选：B．点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．10．（5分）设点P在直线y=x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（）A．B．C．﹣1D．ln2考点：两点间距离公式的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系由距离公式可得．解答：解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为（m，lnm），则由切点还在直线y=x+b可得lnm=m+b，由切线斜率等于切点的导数值可得=1，联立解得m=1，b=﹣1，∴由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=故选：A．点评：本题考查导数和平行线间的距离公式，等价转化是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）已知a＞b≥2，现有下列不等式： ①b2＜3b﹣a；②a3+b3＞a2b+ab2；③ab＞a+b；④+＞+．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：用作差法比较可得②③正确，通过给变量取特殊值检验可得①④不正确解答：解：对于①，∵a＞b≥2，∴b2﹣3b+a=（a﹣b）+b（b﹣2）＞0+0=0，故①不正确．对于②，若a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）=（a+b）（a2﹣2ab+b2）=（a+b）（a﹣b）2＞0，故②正确．对于③，ab﹣（a+b）==＞=0，故③正确对于④，若+＞+成立，当a=10，b=2时，左边为，右边也为，故④不正确综上，只有②③正确，故选：C．点评：本题考查比较两个式子大小的方法，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．12．（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③若方程f（x）﹣m=0有三个根，则m的取值范围是；④若对∀x∈，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为3．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：由f（0）=0，f′（1）=f′（﹣1）=﹣1，代入可求a，b，进而可求f（x）．①由于f（﹣x）=﹣x3+4x=﹣f（x），即f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则t=，s=﹣时，|t﹣s|的最大；③由f（x）的极值，可得直线y=m和曲线y=f（x）x∈有三个交点，等价为m介于极小值和极大值之间；④若对∀x∈，由于f′（x）=3x2﹣4∈，则k≤f′（x）恒成立，则k≤f′（x）min即可求解k．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx，在定义域x∈上表示的曲线过原点， ∴f（0）=0，∵f′（x）=3x2+2ax+b，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1．∴f′（1）=f′（﹣1）=﹣1，∴，解得b=﹣4，a=0，∴f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．对于①，∵f（﹣x）=﹣x3+4x=﹣f（x），即f（x）是奇函数；①正确；对于②，由f′（x）≥0得x≥或x≤﹣，f（x）在内单调递减，若f（x）在内递减，则t=，s=﹣时|t﹣s|的最大值为．②错误；对于③，由②的分析可得，x=﹣时，f（x）取得极大值，x=时，f（x）取得极大值﹣，结合单调性，可得方程f（x）﹣m=0有三个根，即为直线y=m和曲线y=f（x）x∈有三个交点，则m的取值范围是，则③正确；对于④，若对∀x∈，由于f′（x）=3x2﹣4∈，则k≤f′（x）恒成立，则k≤﹣4，则k的最大值为﹣4．④错误．正确命题的序号为①③．故选：B．点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用．属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=﹣1．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出a的值即可．解答：解：∵复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，∴，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．14．（4分）已知函数，则f′（1）=0．考点：导数的运算． 专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值．解答：解：∵函数，∴f'（x）=，∴f′（1）=，故答案为：0．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．15．（4分）=．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：根据定积分的几何意义求值．解答：解：已知表示以原点为圆心，半径为1的半圆的面积；故=；故答案为：．点评：本题考查了利用定积分的几何意义求定积分的值．属于基础题．16．（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…．有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+nanxn﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）nanxn﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，依此类推，我们可得a2n=．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得结论．解答：解：cosx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…．令x=0，得a0=1=；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+nanxn﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）nanxn﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，由（cosx）''′=sinx=2•3a3+2×3×4a4x…+（n﹣2）（n﹣1）nanxn﹣3+…，令x=0，得a3=0， 由（cosx）''′′=cosx=2×3×4a4+…+（n﹣3）（n﹣2）（n﹣1）nanxn﹣4+…，令x=0，得a4=，…由以上可得a2n==，故答案为：．点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：（I）．∴=﹣1﹣i．（II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，属于基础题．18．（12分）已知数列{an}，a1=3，，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（I）由a1=3，且，分别令n=1，2，3，即可得出；（II）由（1）猜想，利用数学归纳法进行证明即可．解答：解：（I）∵a1=3，且，∴，，；（II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明．①当n=1时，，满足要求，猜想成立；②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即，那么当n=k+1时，，这就表明当n=k+1时，猜想成立．根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即．点评：本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣plnx．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的极值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出p=1的函数f（x），求出定义域和导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（II）求出f（x）的导数，结合定义域，讨论当p≤0时，当p＞0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值．解答：解：（Ⅰ）当p=1时，f（x）=x﹣lnx，定义域为（0，+∞），由，可解得0＜x＜1，f′（x）＞0，可解得x＞1．所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间（1，+∞）；（II）由f（x）=x﹣plnx，可得，x∈（0，+∞）， 当p≤0时，f′（x）＞0当x∈（0，+∞）时恒成立；此时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以无极值．当p＞0时，令f′（x）=0可得x=p；当0＜x＜p时，f′（x）＜0，当x＞p时，f′（x）＞0，所以x=p是函数f（x）的极小值点，极小值为f（p）=p﹣plnp；综上所述，当p≤0时函数f（x）无极值．当p＞0时函数f（x）有极小值p﹣plnp，无极大值．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（12分）函数f（x）=的图象在点M（1，3）处的切线方程为x+y﹣4=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）m，n∈R，若时，f（x）min≤m2+n2，且存在使得f（x0）≥m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；复数的代数表示法及其几何意义．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由切线方程可得f（1）=3，f′（1）=﹣1，解方程可得a，b；（Ⅱ）求得f（x）在时的极值和最值，可得m2+n2的范围，运用复数的几何意义和圆的面积公式，计算即可得到．解答：解（I）∵，∴，依题意，即有，解得；（II）由（I）可得f（x）=x+，，令f′（x）=0解得，（舍去），当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：x（，2）2f'（x）﹣+f（x）↘极小值f（）↗3 由上表可得，，，所以．所以z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查复数的几何意义和圆的面积，属于中档题．21．（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）．（Ⅰ）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（Ⅱ）求动车运行过程中速度的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）求出v（t）的导数，由条件可得c=d=0，b=﹣3a，由积分的运算可得a=﹣950，即可得到v（t）的解析式；（II）求得函数v（t）的导数，求得单调区间，求得极值、最值即可得到速度的最大值．解答：解：（I）∵v（t）=at3+bt2+ct+d∴v′（t）=3at2+2bt+c，又∵v′（0）=v′（2）=0，v（0）=0，∴∴，∴v（t）=at3﹣3at2，v（2）=8a﹣12a=﹣4a；则前2分钟运行的路程为．依题意得：100×1000﹣5×1000+4a=24•v（2）即95000+4a=24×（﹣4a），解得a=﹣950，∴v（t）=﹣950t3+2850t2（0≤t≤2）；（II）∵v（t）=﹣950t3+2850t2（0≤t≤2）∴v′（t）=﹣950•3t2+2•2850t=﹣2850t（t﹣2）≥0，（0≤t≤2）∴v（t）在上为增函数，∴当t=2时，v（t）max=v（2）=3800米/分钟．∴动车在行使过程中的最大速度为3800米/分钟．点评：本题考查运用导数解决实际问题，运用导数求最值问题，考查运算能力，属于中档题． 22．（14分）设f（x）=ex，g（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）．（i）求g（x）的表达式；（ii）令h（x）=f（x）﹣g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；（Ⅱ）求证：．考点：函数零点的判定定理；函数的值；对数的运算性质．专题：压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（I）（i）解方程组，解得．即可得出g（x）（ii）利用导数判断单调性，得出h（x）有一个零点0，再运用反证法假设h（x）不只一个零点，推出矛盾，即可判断函数h（x）恰有一个零点；（II）运用函数得出ln（x+1）≤x，，，，…，．放缩得出等比数列求和得出，根据对数的概念化简放缩即可．解答：解：（I）（i）∵∴，解得．∴g（x）=+x+1（ii）由（i）知，所以h'（x）=ex﹣x﹣1．…（5分）设l（x）=ex﹣x﹣1，则l'（x）=ex﹣1．令l'（x）=0可得x=0．当x＜0时，l'（x）＜0，当x＞0时，l'（x）＞0．所以l（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，所以x=0时，l（x）有极小值l（0），也就是最小值为0，所以l（x）≥0所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函数． 又h（0）=0，所以h（x）有一个零点0，假设h（x）不只一个零点，不妨设h（x）有两个零点，分别为x1，x2且x1＜x2．则h（x1）=0，h（x2）=0，从而h（x1）=h（x2），又h（x）是R上的增函数，且x1＜x2，所以h（x1）＜h（x2）这与h（x1）=h（x2）相矛盾，所以假设不成立，所以h（x）只有一个零点0，（II）证明：由（I）得ex≥x+1，当x＞﹣1时，有ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时取等号，因此，，，…，．=∴，∴（1）（1）（1）…（1）==故：．点评：本题综合考查了函数性质，不等式，放缩法的运用，融合入了等比数列的运用，知识综合较多，难度较大，关键是利用好ln（x+1）≤x，转为等比数列．