《3.2.2 最大值、最小值问题》同步练习

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1、《3.2.2最大值、最小值问题(一)》同步练习一、选择题1．一个质点在直线上运动，运动方程为s＝f(t)＝3t－t2，则此质点在t∈[0，]时最大位移和最大速度分别是(　　)A．3，3　　　　　　　　　B.，3C.，D.，【解析】　s＝f(t)＝3t－t2是二次函数，易求最大值为.速度v＝f′(t)＝3－2t，当t∈[0，]时，v最大为3，故正确选项为B.【答案】　B2．当函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0，]上取得最大值时，x的值为(　　)A．0　　　　B.C.　　　　D.【解析】　f′(x)＝1＋2(－sinx)，令f′(x)＝0

2、，解得sinx＝.∵0≤x≤，∴x＝.当0≤x≤时，f′(x)>0，函数是增加的；当＜x≤时，f′(x)<0，函数是减少的，∴x＝时，函数取得极大值，也是最大值．【答案】　B3．若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，那么a等于(　　)A．2B．1C.D．0【解析】　f′(x)＝acosx＋cos3x，由题意f′()＝0，即a－1＝0，故a＝2.【答案】　A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．

3、11万件C．9万件D．7万件【解析】　∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)，当00，函数f(x)单调递增．当x>9时y′<0，函数f(x)单调递减故当x＝9时，y取最大值．【答案】　C5．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为(　　)A．50B.C.D．25【解析】　设圆的周长为xcm，则正方形的周长为(100－x)cm.则0＜x＜100.∴圆的半径为r＝，正方形的边长为25－，则圆与正方形的面积

4、之和为S(x)＝x2＋(25－)2(0＜x＜100)，∴S′(x)＝x－(25－)．由S′(x)＝0，得x＝，此时S(x)取得最小值．【答案】　B二、填空题6．设函数f(x)＝x3－－2x＋5.若存在x∈[－1，2]使得f(x)>m，则实数m的取值范围是________．【解析】　f′(x)＝3x2－x－2＝3(x＋)(x－1)．∵f(－1)＝，f(－)＝，f(1)＝，f(2)＝7，∴f(x)最大值为7，故m<7.【答案】　(－∞，7)7．(2013·福州高二检测)函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a＞0)在[1，4]上的最大值为3，最

5、小值为－6，则a＋b＝________.【解析】　f′(x)＝4ax3－12ax2(a＞0，x∈[1，4])．由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取到最小值为b－27a.又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(4)为最大值．由解得∴a＋b＝.【答案】　8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边之比为1∶2，则它的长为________，宽为______，高为______时，可使表面积最小．【解析】　设体积为Vcm3，底面两邻边分别为xcm，2xcm，高为ycm，则V＝2x2·y，所

6、以y＝＝，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋，所以S′＝8x－，令S′＝0得x＝3.所以长为6cm，宽为3cm，高为4cm.【答案】　6cm　3cm　4cm三、解答题9．已知某商品生产成本C与产量q(0

7、求得唯一的极值点q＝84.所以产量为84时，利润L最大．10．已知f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)，f(a)与f(－1

8、)的大小．f(0)－f(1)＝b－(1－a＋b)＝a－1，由a∈(，1)，故a－1>0，即f(0)>f(1)，于是f(x)的最大值为f(0)．因而有b＝1.又f(－1)－f(a)＝－1－a＋b