《3.2.2 最大值、最小值问题一》同步练习

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1、《3.2.2最大值、最小值问题(一)》同步练习1．函数f(x)＝x3－3x(

2、x

3、＜1)(　　)．A．有最大值，但无最小值　　B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析　∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3，又

4、x

5、＜1，∴f′(x)＜0，即f(x)在(－1，1)上单调递减，∴函数f(x)＝x3－3x(

6、x

7、＜1)无最大值，也无最小值．答案　C2．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0，2)上恰有(　　)．A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根解析　令f(x)＝x3－ax2

8、＋1，则f′(x)＝3x2－2ax.在a>3，x∈(0，2)时f′(x)<0，又f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，故f(x)的图像在(0，2)上与x轴只有一个交点，即方程只有1个根，故选B.答案　B3．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为，则a等于(　　)．A．－B.C．－D.或－解析　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1，当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意，当－1

9、数f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．解析　f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，又f(0)＝a，f(2)＝－8＋a，f(－2)＝－40＋a，∴f(0)>f(2)>f(－2)，∴f(x)最大值＝f(0)，∴a＝5∴f(x)最小值＝f(－2)＝－35.答案　－355．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．解析　y′＝－1，令y′>0得0≤x<，令y′<0得x>，∴函数在区间上递增，在上递减，∴当x＝时函数

10、有最大值，其最大值为f＝.答案　6．求下列函数的最大值与最小值．(1)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]；(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0，2]．解　(1)f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝2.根据x1，x2列表分析f′(x)的符号和函数的单调性.x02(2，3)3f′(x)＋0－0＋f(x)-4极大值·极小值·2由上表可得：x1＝是函数的极大值点，x2＝2是函数的极小值点，计算函数在极值点与端点处的值为f(0)＝－4

11、，f＝，f(2)＝0，f(3)＝2.经比较得函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在区间[0，3]上的最小值为－4，最大值为2.(2)f′(x)＝－x.令－x＝0，整理得，x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.根据x2列表分析f′(x)的符号和函数的单调性.x0(0，1)1(1，2)2f′(x)＋0－f(x)0极大值ln3－1由上表知x2＝1是函数的极大值点，计算函数在极值点与端点处的值为f(0)＝0，f(1)＝ln2－，f(2)＝ln3－1.经比较得函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0，2]上的最大

12、值为ln2－，最小值为0.7．下列结论中正确的是(　　)．A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b处取到D．在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值解析　由函数最值的定义知A，B，C均不正确，D正确．故选D.答案　D8．函数y＝xe－x，x∈[0，4]的最大值为(　　)．A．0B.C.D.解析　令y＝f(x)，则f(x)＝xe－x，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)

13、，f(x)的变化情况如下表：x0(0，1)1(1，4)4f′(x)＋0－f(x)0∴f(x)的最大值为f(1)＝.答案　B9．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为__________．解析　f′(x)＝excosx≥0，∴f(0)≤f(x)≤f()．答案　10．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在

14、(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案　(－∞，2ln2－2]11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2