2.2命题与证明（二）

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1、命题与证明（二）本课内容本节内容2.2议一议下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）都是错误的.我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这

2、个过程叫证明.例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代换）.于是，我们得出：同角（或等角）的补角相等.要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.我们通常把这种方法称为“举反例”.判断下列命题为真命题的

3、依据是什么？说一说（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断.从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.本书中，我们把少数真

4、命题作为基本事实.例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理.例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形

5、外角定理”.当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.我们前面学过的定理中就有互逆的定理.例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平

6、面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数.答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等3.试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。