三角形全等的判定_经典习题

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1、三角形全等的判定本节主要通过画两个全等的三角形，引导学生发现问题：要求证两个三角形全等需要些什么条件，然后由学生动手操作发现求证两三角形全等的条件有：“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”以及两直角三角形全等的“斜边直角边”，接着进一步引导学生思考证明三角形全等的思路，帮助一些看到证明题就头痛的学生解决问。一．三角形全等的判定这是本节的重点知识，在【知识点击】、【典例引路】、【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。二．易错点因为证明三角形全等的条件较多，学生很容易把“边边角”也用来证明三角形全等，值得注意的是，这“边边角”并不是三角形全等的条件。点击一:边边

2、边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”点击二:边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”点击三:角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”点击四:角角边推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．点击五:直角三角形全等的条件还有“斜边直角边公理”：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“HL”．点击六:全等三角形的应用：证明线段或角相等，-19-通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再

3、分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。点击七:证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思路有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。例如：易得两边对应相等，则应再找，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。类型之一:SSS已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。【解析】已知中给的条件均为线段，由此可以考虑从边边边

4、公理证明，这里又需用到等量公理。【答案】证明：∵BE=CF∴BE+EC=EC+CF（等量加等量和相等）∴在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）类型之二:ASA已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。-19-【解析】证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。本例要证明AB=DC，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。要证AB=DC，只需证明△ABC≌DCB。【答案】证明：∵∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，∴∠ABC－∠1=∠DCB－∠2∴∠DBC=∠ACB在△ABC和△DCB中：∴△A

5、BC≌△DCB（ASA）∴AB=DC类型之三:AAS已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF【解析】将CE与BF放在△CED与△BFD中，证明这两个三角形全等，问题便可解决，而全等条件经过已知的转化是可以得到的。【答案】证明：-19-∵CE⊥AD，BF⊥AD∴∠CED=∠BFD=90°（垂直定义）∵D为BC中点∴BD=DC（线段中点定义）∴在△DEC与△DFB中∴△DEC≌△DFB（AAS）∴CE=BF（全等三角形对应边相等）类型之四:综合已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A=∠D。求证：∠B=∠E。【解析】要证∠B=∠E，通常

6、的思路是要证△ABC≌△DEF，但如果连结AC、DE就会破坏∠A=∠D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：△ABF≌△DEC，于是可证∠ABF=∠DEC，进一步即可证明∠ABC=∠DEF【答案】证明：连结BF、CF、CE在△ABF和△DEC中∴△ABF≌△DEC（SAS）∴∠1=∠2，BF=EC在△BFC和△ECF中∴△BFC≌△ECF（SSS）-19-∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4，即：∠ABC=∠DEF说明：如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线

7、段、角相等的一个常用手段。1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由．【解析】审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等