全等三角形判定经典.doc

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1、11.2三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。例1.如图所示，AB＝CD，AC＝DB。求证：△ABC≌△DCB。分析：由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。证明：在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（SSS）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在

2、前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或16“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。例2.如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：AB＝CD。分析：要证明AB＝CD，由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边，可尝试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE＝C

3、F可证得BF＝CE，由ASA即可证明两三角形全等。证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等）又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（ASA）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“16角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。例3.如图

4、所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求证：AD＝BF－DF。分析：要证AD＝BF－DF，观察图形可得CF＝CD－DF，只需证明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要证明△CFB≌△ADC。由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易证得∠CBF＝∠ACD，问题便得到证明。证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°∴∠CBF＝∠A

5、CD（同角的余角相等）又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°在△CFB和△ADC中，（已知）∴△CFB≌△ADC（AAS）∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）又∵CF＝CD－DF∴AD＝BF－DF评析：由条件AC＝BC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。16（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△D

6、EF（SAS）。例4.已知：如图所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。求证：AC∥DF。分析：欲证AC∥DF，可通过证明∠ACB＝∠F，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角，所以应先证明△ABC≌△DEF。由BE＝CF易得BC＝EF，再结合已知条件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可达到目的。证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴∠ACB＝∠F。∴AC∥DF。评析：通过证明两个三角形全等

7、可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“16斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两

8、个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。例5.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm16，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△PQA全等？分析：要使△ABC与△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，则只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置