近世代数期末考试试卷及答案1

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1、近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，

2、通常写为a∙b或者就简略记为ab。乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。a∙(b∙c)=(a∙b)∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a=a∙e=a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1=a-1∙a=e如果这乘法还满足交换律a∙b=b∙a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为1，Abel群的时候则写为0。单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d=de=e。同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b=bac=c。显

3、然(a-1)-1=a。在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f(στ)=f(σ)f(τ)。这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。第9页共9页群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体

4、，关于映射的合成做成一个群。映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。这样的群称为置换群。一般来说，一个“对称”就对应了一个群。所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。群也出现在各种基本的代数对象中。所有整数关于加法做成可换群。所有非0有理数关于通常的乘法做成可换群。所有n阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当n≥2时这群是

5、不可交换的。置换群的元如前所述是映集合A到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合A上的一个置换。一般来说，如果一个集合Γ的每个元都对应了映集合A到其自身的一个映射，我们就说Γ作用在A上。而Γ的某个元γ所对应的这个映射，就被称为γ在A上的作用。在很多时候，Γ是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时A具有某种结构，Γ的每个元在A上的作用都保持这结构不变。由于群的每个元都有逆元，这时Γ的每个元都是同构。这样的Γ有时被称为A的自同构群。同样对于某个群G来说，如果有一个集合Γ的每个元都对应了映G到其

6、自身的一个同态映射，我们就说Γ作用于G上，或说G是“Γ上的群”，简称为“Γ-群”。这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。Γ-群G到Γ-群H的Γ-同态映射定义为与Γ的作用可换的同态映射f，即f是从G到H的同态映射，并且满足：对于Γ中任意一元γ和G中任意一元σ，总有f(γσ)=γf(σ)。第9页共9页一个群是可换的还是非可换的，

7、这中间是有巨大差别的。非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。子群，正规子群，商群定义。对于一个Γ-群G，其子群定义为满足下列

8、条件的G的子集H：1.H中任意两元的积仍然属于H2.H中的元的逆元属于H3.对于Γ中任意一元γ和H中任意一元h，γh属于H注意由条件1、2立即得到单位元属于H。设一个Γ-群G有子群H，则对于G的任意两元σ、τ，G的子集σH和τH（σH定义为形如σh(h∈H)的元所组成的集。τH也是一样）要么不交，要么相等。这是因为如果σH和τH相交，即存在h1、h2∈H满足σh1=τh2，则对于H中任意一元h，都有σh=τh2h1-1h，而根据子群的定义h