9.2--2.异面直线及其夹角(3)

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1、9.2--异面直线及其夹角(2)yyyy年M月d日星期教学目标：1.熟练掌握两条异面直线所成角的定义;2.明确异面直线所成角的范围;3.掌握求两异面直线所成角的方法;4.会用反三角表示非特殊角的异面直线所成的角.教学重点：异面直线所成的角教学难点：异面直线所成的角的求法空间直线的三种位置关系:（1）相交直线—（2）平行直线—（3）异面直线—有且仅有一个公共点．在同一个平面内，没有公共点．不同在任何一个平面内,没有公共点aαObαbaαMba(1)(3)(2)复习推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

2、abcdαβ异面直线所成的角(1)定义直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a’,b’,并使a’∥a,b’∥b,我们把a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角aboa’b’aOba'(2)说明异面直线a,b所成的角,由a,b的相对位置确定,与O点位置无关.但O点常取某一直线的点,(即为特殊点)(3)范围(4)方法平移,化空间问题为平面问题.异面垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直(2)记法:异面直线a,b互相垂直,记为a⊥b(3)分类:两直线垂直共面垂直(相交)异面垂直例1.在正方体AB

3、CD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1B1与AC；3)A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=90°2）A1B1与AC所成的角=45°3）A1B与D1B1所成的角=60°※求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角——作(2)补形说角——证(3)计算求角——求例2.正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角形)中,M,N分别是BC和AD的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.ABCDMNH解:连结DM，取DM中点H连结NH、CH，则有NH∥AM所以∠CNH为AM和CN所成的角

4、令BC=a(或其补角)例3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=7,求异面直线AC和BD所成的角ABCDMNP∠NPM=1200即异面直线AC和BD所成的角是600解:取AD中点P，连结MP、NPMP∥BD、NP∥ACMP=3、NP=5∠NPM就是AC和BD所成的角(或其补角)为什么？例4.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O

5、1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？平移法：即根据定义，以“运动”的观　点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。BDB1A1D1C1ACF1EFE1例5.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：3.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。

6、（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角1.异面直线及其所成的角定义;2.异面直线所成的角的范围:4.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为5.当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决。90o书面作业课堂练习<<教材>>P.16练习4<<教材>>习题9.2–6.7