3.2立体几何中的向量方法(选修2-1)

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时间:2019-05-07

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1、一.空间“角度”问题1.求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线,A、C与B、D分别是a,b上的任意两点,设两异面直线所成的角为θ,则2.求直线和平面所成的角求法:设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为θ,与的夹角为,则θ为的余角或的补角的余角。则有例:已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值。注意:最后的结果,二面角的余弦值正负可看二面角的大小,若是锐角取正,若是钝角取负。L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图,向量,则二面角的大小=〈〉3、求二

2、面角若二面角的大小为,则法向量法例、过正方形ABCD的顶点A,引PA⊥平面ABCD.若PA=BA,求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小。例:如图,在正三棱柱A1B1C1—ABC中,D,E分别是棱BC、CC1的中点,(Ⅰ)证明:(Ⅱ)求二面角的大小.二.向量法求距离1.点到线的距离例:正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,E是BB1的中点,则E到AD1的距离是()AaBaCaDaD2.点到平面距离的向量公式若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,平面的法向量为,则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.例、正

3、方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,求O到平面ABC1D1的距离.练习3.直线与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。即4.两平行平面之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即5.异面直线间的距离练习如图,在正三棱柱A1B1C1—ABC中,D,E分别是棱BC、CC1的中点,求异面直线AB1与BE的距离。

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