2002年4月浙江省自考初等数论试题答案

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1、浙江省2002年4月高等教育自学考试初等数论试题参考答案课程代码：10021一、填空题(每小题4分，共40分)1.819962.53.4.x≡14，47，80(mod99)5.x=17+67t,y=5+28t,t∈Z6.4997.298.π(x)～9.0，1，3，4，5，910.-1二、计算题(第1小题7分，第2，3小题各8分，共23分)1.等价于因(15，16)=1，(15，50)｜(14－4)，（16，50）｜（14－10）故方程组有解，且等价于列表计算如下miCiMiMi′CiMiMi′31

2、400140016107532250251448128064得解x≡1114（mod1200）2.显然是整数，设此数为k，则x=，k∈Z于是［］=k故［-k］=03从而0≤-3k+8＜10解得＜k≤，于是k=0，1，2，x=,,3 3.方程x3-2x+12≡0（mod3）有一解x0(mod3)故x=3t1,f(x)=x3-2x+12,f′(x)=3x2-2f(0)=12,f′(0)=-2解12-2·3t1≡0(mod32)，得t1≡2(mod3)t1=2+3t2，x=6+32t2f(6)=216,

3、f′(6)=106，解216+106·32t2≡0(mod33)t2≡0(mod3)，故t2=3t3，x=6+33t3再解216+106·33t3≡0(mod34)即8+t3≡0(mod3)得t3≡1(mod3),故t3=1+3t4，x=33+34t4原方程的解为x≡33(mod81)三、论证题(第1、2题各8分，第3题10分，第4题11分，共37分)1.若n不是素数，则可设n=ab,a＞1，b＞1则2n-1=(2a)b-1,记2a=c,则c≥42n-1=cb-1,=(c-1)(cb-1+cb-

4、2+…+c+1)显然c-1＞1，而后一式中有b-1≥1，故cb-1+…+c+1≥c+1＞1这就表明2n-1可分解为两个大于1的整数之积此与2n-1是素数矛盾，故n必是素数2.欧拉定理：若(a,m)=1,则证：设x1,x2,…,x(1)是模m的一个简化剩余系，则ax1,ax2,…,a(2)也是模m的简化剩余系因而(2)的每一个数，与且仅与(1)中的一数关于模m同余，故ax1·ax2…a≡x1x2…(modm)即x1x2…≡x1x2…（modm）但(xi,m)=1,i=1,2,…,,故3(

5、x1x2…,m)=1于是可从同余式两边除去x1x2…，得3.改写为2Z=x2y+1-1=(x-1)(x2y+…+x+1)由原方程知x≠1,2｜x,故x≥3，上面第二个因式x2y+…+x+1共有2y+1项，每项都是奇数，因而是一个大于1的奇数，于是产生了大于1的奇数整除2Z的矛盾，故方程无正整数解。4.已知20022002＜(211)2002=213·11·154＜(104)1694=106774故20022002至多有6774位数字，于是f(20022002)≤9·6774=60984进而f(

6、f(20022002))≤5+9·4=41f(f(f(20022002)))≤3+9=12另一方面，由Euler定理得20022002≡42002≡46·333+4≡44≡4(mod9)而f(a)≡a(mod9)，故f(f(f((20022002)))≡f(f(20022002))≡f(20022002)≡20022002≡4(mod9)这样f(f(f(20022002)))既要小于12，又要关于模9同余于4，此范围内只有一个数4，因而f(f(f((20022002)))≡43