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《浙江省2002年4月自考初等数论试题试卷真题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、www.4juan.com专注于收集各类历年试卷和答案浙江省2002年4月高等教育自学考试初等数论试题课程代码:10021一、填空题(每小题4分,共40分,将结果填入划线处)1.σ(288)=_______________;(288)=________________。2.π(120)-π(100)=________________。3.分数,中必为既约分数的是_____________。4.同余方程15x≡12(mod99)关于模99的解是___________________。5.不定方程28x-67y=141的通解是_______
2、___________。6.若2002!≡0(mod10k),则k的最大值是________________。7.不能表为形如4x+11y(x,y为非负整数)的最大整数是______________。8.素数定理是指__________________。9.完全平方数关于模11的最小非负剩余,只能是_____________。10.()=__________________。二、计算题(第1题7分,第2,3题各8分,共23分)1.判断同余方程组是否有解,如有解则求出其解:2.试求方程[]=的实数解。3.解同余方程x3-2x+12≡0(m
3、od81)三、论证题(第1、2题各8分,第3题10分,第4题11分,共37分)1.设2n-1是素数,试证n必是素数。2.叙述并证明欧拉(Euler)定理。3.试证不定方程x2y+1=2z+1无正整数解。4.以f(a)表示正整数a的十进位表示的各位数码字之和,例如f(123)=1+2+3。试证f(f(f(20022002)))=4浙江省2002年4月高等教育自学考试初等数论试题参考答案课程代码:10021一、填空题(每小题4分,共40分)1.819962.53.4www.4juan.com专注于收集各类历年试卷和答案4.x≡14,47,
4、80(mod99)5.x=17+67t,y=5+28t,t∈Z6.4997.298.π(x)~9.0,1,3,4,5,910.-1二、计算题(第1小题7分,第2,3小题各8分,共23分)1.等价于因(15,16)=1,(15,50)|(14-4),(16,50)|(14-10)故方程组有解,且等价于列表计算如下miCiMiMi′CiMiMi′31400140016107532250251448128064得解x≡1114(mod1200)2.显然是整数,设此数为k,则x=,k∈Z于是[]=k故[-k]=0从而0≤-3k+8<10解得<k
5、≤,于是k=0,1,2,x=,,3
3.方程x3-2x+12≡0(mod3)有一解x0(mod3)故x=3t1,f(x)=x3-2x+12,f′(x)=3x2-2f(0)=12,f′(0)=-2解12-2·3t1≡0(mod32),得t1≡2(mod3)4www.4juan.com专注于收集各类历年试卷和答案t1=2+3t2,x=6+32t2f(6)=216,f′(6)=106,解216+106·32t2≡0(mod33)t2≡0(mod3),故t2=3t3,x=6+33t3再解216+106·33t3≡0(mod34)即8+t3≡0(
6、mod3)得t3≡1(mod3),故t3=1+3t4,x=33+34t4原方程的解为x≡33(mod81)三、论证题(第1、2题各8分,第3题10分,第4题11分,共37分)1.若n不是素数,则可设n=ab,a>1,b>1则2n-1=(2a)b-1,记2a=c,则c≥42n-1=cb-1,=(c-1)(cb-1+cb-2+…+c+1)显然c-1>1,而后一式中有b-1≥1,故cb-1+…+c+1≥c+1>1这就表明2n-1可分解为两个大于1的整数之积此与2n-1是素数矛盾,故n必是素数2.欧拉定理:若(a,m)=1,则证:设x1,
7、x2,…,x(1)是模m的一个简化剩余系,则ax1,ax2,…,a(2)也是模m的简化剩余系因而(2)的每一个数,与且仅与(1)中的一数关于模m同余,故ax1·ax2…a≡x1x2…(modm)即x1x2…≡x1x2…(modm)但(xi,m)=1,i=1,2,…,,故(x1x2…,m)=1于是可从同余式两边除去x1x2…,得3.改写为2Z=x2y+1-14www.4juan.com专注于收集各类历年试卷和答案=(x-1)(x2y+…+x+1)由原方程知x≠1,2|x,故x≥3,上面第二个因式x2y+…+x+1共有2y+1项,每
8、项都是奇数,因而是一个大于1的奇数,于是产生了大于1的奇数整除2Z的矛盾,故方程无正整数解。4.已知20022002<(211)2002=213·11·154<(104)1694=106774故2002