中学数学研究-上071215也说向量

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1、资料编号15238平面向量向量邹一心发表在上071215上属于教法、辅导、教材题为《也说向量》受到了专题佳作话说向量”(文[1])的启发，试作拙文，点点滴滴，权充“也说”.―、向量“自由”，盘活全局在物理中，力作用在某一给定的质点上作功,与起始点是有关联的(如图).而在数学中，向量的定义仅涉及方向及长度(模)两个元素,而将起始点撇开，这与物理中定义向量的三元素绝然不同.因而,空间中任一向量不论始点位于何处，都可以通过平移，将该自由向量平移至某一所需的特定位置.、事实上，向量的平移满足自反性(Reflexiv-ity)、对称性（Symmetry)、传递性（Transitiv-it

2、y),简称满足R、S、T条件，因此平移向量构成一个等价类，在等价类中,所有向量是可以看作彼此不加区分的，也即类中任一向量都有资格派出作为代表，位置向量就是其中所需的代表.可以设想:如果向量缺少了“自由”，何来平移？何来位置向量？何来向量的运算？何来向量的分解与合成？何来直线的方向向量及平面的法向量？总之，将一事无成.换句话说,倘向量唯一位定，定则死；向量任意平移,移则活.为此,向量二元素定义的这一奠基妙着，盘活了全局.二、向量上架，拯救几何几何的发展史上，曾有两次提到拯救几何.第一次的拯救，如文[2]所述：“有人以为今天的传统几何走上了没落的道路，甚至有人主张取消它，理由是它的

3、演绎性还不够严格，但这是不对的，想要以强化几何的演绎结构来“拯救”传统几何，那是注定失败的.”诚然，欧几里得《几何原本》存在缺陷，希尔柏特(Hilbert)的《几何基础》作了补救，亦推动了当时几何的发展，但是，“演绎性不够严格”决非几何尤其是决非几何教学的唯一的症结所在.何况，由于当时历史条件及代数工具的局限，因而想主要从“强化演绎结构”来拯救几何之想必难以圆满.第二次的拯救，也如文[2]所述：“如果说所有试困将几何结合进代数的人，都是因为他们恨几何，这是不公平的.为此相反，他们是想拯救几何，而拯救几何就意味着必须将几何结合进一个适当的数学休系.”显然，这里的数学体系就是指代数

4、体系.简单地说，就是使综合几何坐标化和代数化.我们知道，向量的形成与发展大体上说，经历了如下4个阶段的转折——引入向量的定义和运算；由向量的几何表示到坐标表示；由3维向量拓广到n维向量空间;计算机的问世使向量代数更添光彩一于是，提出几何坐标化与代数化的时机已见成熟.事实上,正如文[1]所述：“平面几何一向以综合法的演绎为主，以后引入坐标系，发展为坐标几何，即解析几何，数与形互相结合，使得几何学别开生面.如前所述，坐标表示的‘点’依然不能运算，有了向量之后，情沈发生了改变.”正是由于向量g,在直角坐标系下，点^与有序数组与向量M—一对应,于是几何点就堂而皇之参与代数运算了.随着向

5、量维数的拓广，因计算机认识数,线性代数的异军突起，于是向量在“机”上拯救几何不但可能，而且大有用武之地.联系当前，在改革几何教学中，最迫切的是怎样改革传统的立体几何的教学.在文[3]中，早有指出：“综合立休几何的方法是强弩之末，它到顶了，再没有发展前途了，学到此为止了（和综合平面几何性质是不一样的).学完了也就完了，相反，坐标向量法是初生之犊，是一种方法的起点,以后在大学数学中或数学应用中都是用这一套