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1、资料编号15140向量张奠宙发表在上070906上属于教法、辅导、教材题为《话说向量》英文vector的中文译名是“向量”顾名思义,就是指“既有方向又有大小的量可以说译得十分贴切.不过，中国在清末引进vector概念时，物理学家称之为“矢量”，至今两种译名并存.究其原因，早年的向量，只是物理学专门用来表示力和速度等物理量的工具，并不为数学家所重视.因为物理学用得多,矢量的译名自然流行.向量进入数学领域之后，渐渐有取代“矢量”之势.至于我国中学的数学课程，无论《几何》还是《代数》，长期以来很少关注向量.向量大举进入中学课程只
2、是近十年的事情.可以预料，向量势必渐渐成为高中数学课程的“核心概念”.让我们先从数学发展的大势进行考察.—、复数为“媒”，撑起“向量空间”一片天史载,古希腊的亚里士多德(公元前384-公元前322)已经知道两个力的合成，可以用平行四边形的法则得到.但是,集古希腊数学大成的《几何原本》，没有讨论向量.以后的一千多年中,经过文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识没有什么变化.伽利略(1564-1642)清楚地叙述了“平行四边形法则”，仅此而已.这点向量知识，形不成多少有意义的问题，发展不成一个独立的学科，
3、因而数学家没有把向量当作一回事.进入19世纪，事情开始发生变化.“复数”充当了催化剂.丹麦的魏塞尔(1745-1818),瑞士的阿工(1768-1822)发现了复数的几何表示，德国高斯(1777-1855)建立了复平面的概念，从而使向量与复数建立起一一对应.这不但为虚数的现实化提供了可能，也为向量的发展开辟了道路.向量表示为一对有序的实数(a,b),是一个重大的进步.当时的数学家想到，实数可看作一维向量,复数可看作二维向量，那么一定还有“三维数”、“四维数”，乃至“n维数”.令人失望的是,哈密顿发现，要形成有加减乘除四则运
4、算的数系，只能是四元数，而且不得不放弃乘法的交换律.最后发现的八元数,连结合律也维持不了.除此而外,其他维数的向量，根本无法定义四则运算，谈不上构成数系.[1]德国数学家格拉斯曼1844年引入了n维向量的概念.令人深思的是，n维向量既然不能成为有四则运算的数系，那么它的结构是什么呢?这是19世纪抽象代数思想的发展的自然思考.研究表明,n维向量全体,可以定义加法和减法，此外还有单个的“数”可以和向量相乘.这就是向量空间(线性空间)的来源.此外,两个向量可以有“内积”和“外积”，但是它们都没有逆运算，即没有除法.这是一个不同于
5、“数系”的崭新的数学结构.果然，在向量空间的舞台上，产生了具有深远影响的数学成就.二、“向量”上台，“线性数学”大放异彩“线性”，是20世纪数学中使用十分广泛的词汇.但是，中国的中学数学教学中却很少使用.无论是英文还是俄文，我们常说的“一次方程”和“一次函数”，原本都是“线性方程(LinearEqua-tion)”和“线性函数(LinearFunction)”.至于为什么丢弃“线性”的提法，不得而知.在大学里，则流行“线性”.“线性代数”、“线性变换”、“线性常微分方程’、“线性偏微分方程”、“线性规划’、“线性算子’、“
6、线性泛函”、“线性控制系统”、“拟线性”、“准线性”等等.这里，让我们回顾“线性代数”成为中国大学必修课的历史.直到文革时代到来的1966年，线性代数还是大学数学系的专业选修课.十年文革动乱之后，科学春天来临.“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，《线性代数》立即成为所有大学数学系低年级的基础课.这样做，没有命令，没有动员,也几乎没有讨论，一下子就全改了.为什么？这是数学的进步使然.以前的一年级的基础课《高等代数》，以多项式理论为主线、群环域概念为辅线进行安排.现在让位给以解n阶线性方程组为主体、研究向量和矩阵的《线性代数》
7、框架.北京大学数学系编写的《线性代数》成为大学数学系低年级的通用教材.接着工科院校的《高等数学》，线性代数居然可以和微积分平起平坐.时至今日，社会上流行用“n个”表示“很多个”的意思.究其根源，正是n维向量、n阶线性方程组这类《线性代数》名词广泛普及的结果.为什么以向量为基本对象的“线性数学”会流行呢？实际上，相对于“非线性数学”来说，线性数学比较简单.微积分学的基本思想是“以直代曲”，局部地以切线代替曲线.于是，在某种条件下,微分方程就可以近似地变成“线性代数方程组”.20世纪有了电子计算机，无论未知数的个数n有多大，都
8、可以设法计算.于是，把以n维向量为对象的线性方程组搞清了，许多复杂的数学问题也就有解了(至少是近似的).工程中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组.总之，在n维向量空间基础上生成的线性代数，成了许多数学问题得以解决的必备工具.计算机技术的推动，使得各种各样的“线性数学”成熟起来.三、向量进中学
