1.4角平分线的性质

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1、角平分线的性质本课内容本节内容1.4角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？图1-26你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.图1-26∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-2

2、6结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图1-27，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？图1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图

3、1-27结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：举例例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠AB

4、C的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.解作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所求作的点P.（提示：用尺规作图）练习如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.P2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.求证：AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.动脑筋如图1-29，已知EF⊥CD，E

5、F⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29图1-29∵ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.∵AP是∠DAC的平分线，又P

6、E⊥DB，PF⊥AC，解图1-30举例如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？动脑筋图1-31因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图1-32.图1-32练习如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明

7、（1）∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，∵CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又AB=AM+BM，∴AB=AD+BE.小结与复习1.直角三角形的两个

8、锐角有什么关系？2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.4.判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5.角平分线有哪些性质？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形判定全等判定方法角平分线角的内部到角的两边距离