二元一次不等式(组)

《二元一次不等式(组)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二元一次不等式(组)与平面区域在数轴上表示一元一次不等式组的解集：x+3＞0x-4＜0那么在直角坐标系内，二元一次不等式(组)的解集表示什么呢？含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式．使不等式成立的未知数的值叫做它的解．我们研究不等式y＞2x＋1(1)的解，并把它在坐标平面上表示出来．为了求(1)式的任何一个实数解，可任意选取x的一个实数值，例如x=1，把它看作一次方程，这个方程的图形是平行于y轴的直线，它与直线l：y=2x＋1相交于点A(1，3)．在直线x=1上，点A上方的所有点，如(1，4)、(1，5)、…的坐标都满足不等式(1)，它们都是(1)式的解．在直线

2、x=1上，点A下方的所有点，如(1，2)、(1，1)、…的坐标都不满足不等式(1)，它们都不是(1)式的解．A可见，以不等式(1)的解为坐标的所有点的集合P=｛M｜y＞2x＋1｝是直线l上方的半平面所有的点，也就是图中阴影所表示的平面部分，但不包括边界直线．这种情况，直线l在图中一般画成虚线．以二元一次不等式的解为坐标的所有点的集合表示一个平面图形，我们把这个图形叫做不等式表示的区域．A由上例知道，y＞2x＋1表示的区域是直线l上方的半平面；同理，容易求得y＜2x＋1表示的区域是直线l下方的半平面；而y=2x＋1就是边界直线l．一般地，y=kx＋b的直线把平面分成两个半平面，y＞kx＋b表示

3、的区域是直线上方的半平面；y＜kx＋b表示的区域是直线下方的半平面；直线y=kx＋b是两个半平面的边界线．由上面的讨论容易想到，一般二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示的区域，一定是在直线Ax＋By＋C=0的某一侧．但要断定究竟是在哪一侧，并不需要将不等式化为y的函数式，可以取直线Ax＋By＋C=0一侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是不等式表示的区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧是不等式表示的区域．除选点代入不等式的方法外，也可以用y的系数判断不等式表示的区域．如果B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C＞0所表示的区域是直线Ax＋By＋C=0的上(或下

4、)方的半平面；如果不等式写成Ax＋By＋C＜0的形式时，它表示的区域是直线下(或上)方的半平面．想一想，如果B=0时，原不等式表示什么样的区域．【例1】画出不等式y≤－2x＋3表示的区域．解：不等式y≤－2x＋3的解集是y＝－2x＋3，(1)y＜－2x＋3(2)的解集的并集，所以它们表示的区域是由(1)、(2)的图形合成的．因为(1)式的图形是直线l；(2)式的图形是直线l下方的半平面．所以已知不等式表示的区域是直线l和它下方的半平面，也就是图中阴影部分并且包括直线．这种情况，直线l在图中一般画成实线．解：【例2】求不等式x＋2y－10＜0表示的区域，并画出图形．先画出直线l：x＋2y－10

5、=0．用选点代入不等式的方法，例如将原点(0，0)的坐标代入不等式，得－10＜0，不等式式成立．所以坐标原点所在的半平面是不等式表示的区域，即直线l下方的半平面，如图的阴影部分，但不包括直线l．【例3】某工厂有一批长为2.5米的条形钢材，要截成60厘米和42厘米两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案并计算材料的利用率．设每根钢材可截成60厘米长的毛坯x根和42厘米长的毛坯y根．按题意得不等式解：0.6x＋0.42y≤2.5．(1)在坐标纸上画出0.6x＋0.42y=2.5(2)的直线．如图．因为要截得的两种毛坯数的和必须是正整数，所以以(1)的解为坐标的点一定是第一象限内的网格的交点．如果直

6、线(2)上有网格的交点，那么按直线上网格交点的坐标(x，y)的值作为下料方案，这时材料全被利用，因此这个方案就是最佳方案．但从图4中可以看出，直线(2)不通过网格交点，在这种情况下，为了制订最佳下料方案，应该找靠近直线(2)的网格交点．当然不能在直线(2)的上方半平面内找网格交点．因为B=0.42＞0，上方半平面内任何网格交点的坐标都使0.6x＋0.42y＞2.5，这时两种零件毛坯长度的和超过了原钢材长，这是不合理的．这样，下料范围只能限制在0.6x＋0.42y＜2.5表示的区域内．这个区域是直线(2)下方的半平面．在直线(2)的下方半平面上找到最靠近直线的网格交点，得点M(2，3)．x=2

7、，y=3就是所求的解，按这样截取毛坯，材料尽管没有被完全利用，但废料最少．材料的利用率答：把每根条钢截成2根60厘米长和3根42厘米长的零件毛坯是最佳的下料方案．材料利用率为98.4％．课堂练习课本97页练习1、2、3、4题小结B决定上下：B>0上方，B<0下方A决定左右：A>0右方，A<0左方4、思考Ax+By+C>0或<0的系数A，B，C对区域各有什么影响。3、画Ax+By+C>0或<0表示的平面区域的方