《3.3.3函数的最大（小）值与导数》课件2

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1、第三章导数及其应用3.3.3函数的最值与导数极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小.观察区间[a，b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？极大值点，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点：a，最小值点：d最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到.函数y=f(x)在区间[a，b]上最大值是f(a)，图1最大值是f(x3)，图2函数y=f(x)在区间[a，b]上最小值是f(x4

2、).一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.怎样求函数y=f(x)在区间[a，b]内的最大值和最小值？思考只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可.例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0，3]上的最大值，最小值.x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0，3]上的最大值，最小值.解：由上节课的例1知，在[0，3]上，当x

3、=2时，f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f(2)=-4.又由于f(0)=12，f(3)=3，因此，函数f(x)=x3-12x+12在[0，3]上的最大值为12，最小值为-4.①求函数y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值)；②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即端点的函数值)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，2]上的最大值与最小值.因为f

4、(-2)=57，f(1.5)=-28.75，f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解：=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)令=0，解得x1=-2，x2=1.5练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1，1]上的最值.解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)因为在[-1，1]内恒大于0，所以f(x)在[-1，1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2.例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a；(1)求f(x

5、)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.令<0，解得x<-1或x>3解:(1)=-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)∪(3，+∞)(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)>f(-2)于是有22+a=20，解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1，2]上单调递增∴在(-1，3)上>0，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2，2

6、]上的最小值为-7.∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值.∴f(-1)=1+3-9-2=-7，例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0练习3:当x>1时，证明不等式:证:设显然f(x)在[1，+∞)上连续，且f(1)=0.显然，当x>1时，，故f(x)是[1，+∞)上的增函数.所以当x>1时，f(

7、x)>f(1)=0，即当x>1时，例4、求证证明：设在x=1附近由负到正令=0，解得x=1，当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x>0时，f(x)≥f(1)=0从而小结:①求函数y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值)；②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即端点的函数值)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下