高考数学复习第八章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积学案文新人教a版

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1、第2节　空间几何体的表面积与体积最新考纲　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式　　名称几何体　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋

2、S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3[常用结论与微点提醒]1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)(2)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

3、　　)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A.1cmB.2cmC.3cmD.cm解析　由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).答案　B3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同

4、一球面上，则该球的表面积为(　　)A.12πB.πC.8πD.4π解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝a，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.答案　A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A.πB.C.D.解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝.答案　B5.(2018·天津河西区质检)已知一个四棱锥的底面是平行

5、四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.解析　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m.故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2(m3).答案　2考点一　空间几何体的表面积【例1】(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A.20πB.24πC.28πD.32π(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，

6、该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)A.10B.12C.14D.16解析　(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.所以l＝＝4.故该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.答案　(1)C　(2)B规律方法　1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间

7、的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)A.8＋2B.11＋2C.14＋2D.15(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A.17πB.18πC.20πD.28π解析　(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直

8、角梯形，如图所示.直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积