二项式定理(通项公式).

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1、二项式定理二项式知识回顾1.二项式定理(ab)nCn0anCn1an1b1CnkankbkCnnbn,以上展开式共n+1项，其中Cnk叫做二项式系数，Tk1Cnkankbk叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）(ab)nCn0anCn1an1b1(1)kCnkankbk(1)nCnnbn，Tk1(1)kCnkankbk(1x)nCn0Cn1xCnkxkCnnxn①(2x1)nCn0(2x)nCn1(2x)n1Cnk(2x)nkCnn1(2x)1anxnan1xn1ankxnka1xa0②①式中分别令x=1和x=-1，

2、则可以得到Cn0Cn1Cnn2n，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即Cn0Cn2Cn1Cn32n1②式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CnmCnnm.（2）二项式系数Cnk增减性与最大值：n1kn1当k时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.22nn1n1当n是偶数时，中间一项Cn2取得最大值.当n是奇数时，中间两项Cn2和Cn2相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,⋯,

3、an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⋯⋯+anxn⑴a0+a1+a2+a3⋯⋯+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3⋯⋯+(-1)nan=f(-1)⑶a+a+a+a⋯⋯=f(1)f(1)02462⑷a1+a3+a5+a7⋯⋯=f(1)f(1)2-1-经典例题1、“(ab)n展开式：例1．求(3x1)4的展开式；x【练习1】求(3x1)4的展开式x2.求展开式中的项例2.已知在(3x1)n的展开式中，第6项为常数项.23x（1）求n；（2）求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.-2-【练习2】若(x

4、1)n展开式中前三项系数成等差数列.求：24x（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x1)2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项x[练习3]已知(x22)n(nN*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：x1.3(1)求展开式中含x2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.-3-4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．21

5、)(x2)73；（x的展开式中，x项的系数是5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）(x12)3的展开式中，常数项是；x6、求中间项例6求（x1)10的展开式的中间项；3x例7(x1)10的展开式中有理项共有项；3x-4-8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式(x1)11的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求(x1)8展开式中系数最大的项；24x（3）系数绝对值最大的项例10在（xy)7的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”

6、及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为；-5-【练习1】若(12x)2004a0a1xa2x2...2004x2004，则(a0a1)(a0a2)...(a0a2004)；【练习2】设(2x1)6a6x6a5x5...a1xa0，则a0a1a2...a6；【练习3】(x21)9展开式中x9的系数是；2x-6-