二项式定理(通项公式)

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1、六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念2．运算性质：，，3．注意①可看作∴==②可看作∴==4、(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)例题：例1求值：.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1）(式中a＞0)2)3）例3计算下列各式（式中字母都是正数）例4计算下列各式：例5化简：例6已知x+x-1=3,求下列各式的值：二、二项式知识回顾1.二项式定理,以上展开式共n+1项，其中叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式），①②-5-①式中分别令x=1和x=-1，则可以得到，即二项式系数和等于；偶数项二项

2、式系数和等于奇数项二项式系数和，即②式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.1.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即.（2）二项式系数增减性与最大值：当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)⑶a

3、0+a2+a4+a6……=⑷a1+a3+a5+a7……=三、经典例题1、“展开式例1．求的展开式；解：原式====【练习1】求的展开式2.求展开式中的项例2.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解：（1）通项为因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10.（2）令=2，得所以所求的系数为.（3）根据通项公式，由题意-5-令，则，故可以取，即r可以取2，5，8.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为.【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含的

4、一次幂的项；（2）展开式中所有的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.解：由题意知，，所以，解得n=5.（1）(1)由二项式系数性质，的展开式中第6项的二项式系数最大..（2）设第项的系数的绝对值最大，得，即，解得.，故系数的绝对值最大的项是第4项，.[练习3]已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二

5、项式乘积的展开式指定幂的系数例4．的展开式中，项的系数是；解：在展开式中，的来源有：①第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）的展开式中，常数项是；解：，该式展开后常数项只有一项，即6、求中间项-5-例6求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为即：。当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。7、有理项例7的展开式中有理项共有项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项

6、。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2）一般的系数最大或最小问题例9求展开式中系数最大的项；解：记第项系数为，设第项系数最大，则有又，那么有即解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3）系数绝对值最大的项例10在（的展开式中，系数绝对值最大

7、项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若，则的值为；-5-解：令，有，令，有故原式===【练习1】若，则；解：，令，有令，有故原式==【练习2】设，则；解：==110利用二项式定理求近似值例15．求的近似值，使误差小于；分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。解：==，且第3项以后的绝对值都小于，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。==小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以

8、忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。四、课下训练1、展开式中的系数是；答案