2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义（含解析）湘教版

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1、2．2.2　双曲线的简单几何性质第一课时　双曲线的简单几何性质[读教材·填要点]双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性对称轴：x轴和y轴，中心：(0,0)顶点(±a,0)(0，±a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x[小问题·大思维]1．你能求出双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？提示：由题意得a2＝

2、4，b2＝3，解得a＝2，b＝，则c＝＝.因此，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝2.离心率e＝＝.渐近线方程为y＝±x.2．如何用a，b表示双曲线的离心率？提示：e＝＝＝.3．双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e＝＝，当e越大时，双曲线开口越大，当e越小接近于1时，双曲线开口越小．4．双曲线－＝1与－＝1的渐近线有什么关系？提示：双曲线－＝1与－＝1的渐近线相同．由双曲线的标准方程研究其几何性质求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程

3、．[自主解答]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x.若将“－36”改换为“36”呢？解：把方程9y2－4x2＝36化为标准形式为－＝1，∴a＝2，b＝3，c＝.∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－)，(0，)，实轴长是2a＝4，虚轴长是2b＝6，离心率e＝＝.渐近线方程为y＝±x.已知双曲线的

4、方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．1．已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是(　　)A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等解析：双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确

5、．答案：C2．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以e＝＝＝，解得m＝2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．[自主解答]　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x2－2y2＝

6、2有公共渐近线，∴设所求双曲线方程为x2－2y2＝λ.又双曲线过点M(2，－2)，则22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4.∴所求双曲线方程为－＝1.(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：①根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；②由已知条件求出待定系数a，b；③将求得的系数a，b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；(2

7、)已知双曲线与曲线＋＝1共焦点，与曲线－＝1共渐近线．解：(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由渐近线方程为y＝±x，得＝，2c＝10.又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，∴双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，∴所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.(2)由＋＝1得双曲线的焦点为(0，±5)．又双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则：解得b2＝9，a2＝16.∴所求双曲线方程为－＝1.

8、求双曲线的离心率过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．[自主解答]　如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.[答案]