高中数学第1章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词1.3.2含有一个量词的命题的否定讲义

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1、1．3.2　含有一个量词的命题的否定观察下列几个命题：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的质数都是奇数；(3)r：所有的人都睡觉；(4)s：有些实数的相反数比本身大．问题1：哪些是全称命题，哪些是存在性命题？提示：(1)、(4)是存在性命题，(2)、(3)是全称命题．问题2：试对它们进行否定．提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形．(2)有些质数不是奇数．(3)有的人不睡觉．(4)任意实数的相反数都不大于本身．问题3：它们的否定有什么规律？提示：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．1．全称命题的否定全称命题的否定是存在性命题，“∀x∈M

2、，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”．2．存在性命题的否定存在性命题的否定是全称命题，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．对全称命题与存在性命题进行否定的方法：(1)确定所给命题类型，分清是全称命题还是存在性命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词；(3)否定性质：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等更改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．全称命题的否定[例1]　判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的x∈Q

3、，x2＋x＋1是有理数．[思路点拨]　几个命题均为全称命题，可先判断真假，再变换量词、否定结论、写出其否定．[精解详析]　(1)当x＝2时，23－22＋1＝5>0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1>0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．[一点通]　1．全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所

4、提供的性质是解题的关键．2．常见词语的否定：原词否定词原词否定词原词否定词等于不等于是不是至少一个一个也没有大于不大于都是不都是任意某个小于不小于至多一个至少两个所有的某些1．指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解：(1)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，∃x∈M，綈p(x)．(2)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，∃x∈M，綈p(x)．(3)∀x∈M，p(x)，否定：∃x∈R，x2－2x＋1＜0，∃x∈M，綈p(x)．2．判断下列命题的真假

5、，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数.存在性命题的否定[例2]　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值

6、是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.[思路点拨]　它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假．[精解详析]　(1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于

7、－2

8、＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[一点通]　1．存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证

9、对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，綈p(x)成立”．2．要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可．3．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．3．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x0∈R，x＋1<0；(2)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解：(1)綈p：∀x∈R，x2＋1≥0，真命题．(2)綈p