总结材料求矩阵地逆矩阵方法

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1、实用标准文案华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：文档实用标准文案浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于n阶方阵A,如果存在n个阶段B使得AB=BA=E,则n个阶方阵A为可逆的,B为A的逆矩阵。下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。关键字矩阵逆矩阵可逆1矩阵求逆常见的几种方法1.1用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：阶矩阵可逆的充要条件，而且当阶矩阵有逆矩阵，，其中伴随矩阵。例1矩阵是否可逆？若可逆

2、，求解：可逆又，，，，，，，，∴例2设，是的伴随矩阵，求解：，又，所以文档实用标准文案且有规律可循。对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。对求出逆矩阵正确与否,一般用来检验是否正确。1.2用初等变换法求逆矩阵定理1.2.1如果阶方阵可逆，则存在有限个初等矩阵，使得。如果可逆，则也可逆，由上述定理，存在初等矩阵使得那么即于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果阶方阵可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等行换，使化为单位矩阵同时化为，即：例1　用初等行变换求矩阵的逆矩阵解：文档实用标准文案故同理，如果阶矩阵可逆，作一

3、个的矩阵，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵化为单位阵，则同时化为，即。例2用初等列变换求矩阵的逆矩阵1.3用定义法求逆矩阵定义：设为阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵。例4设阶矩阵满足方程证明可逆，并求它的逆矩阵文档实用标准文案。证：由于，得，即或，由定义可知，2特殊的求逆矩阵的方法2.1　由等价标准形求可逆矩阵法定理2.1.1：设是阶可逆矩阵，的秩等于，存在可逆矩阵与，使，，故。　证明：首先构造矩阵然后对进行行如下形式的初等变换：（1）对的前几行进行初等的行变换（2）对的前几列进行初等的列变换　则经过有限次上述变换后，可以

4、变为　　由此得此种方法在一般教材中很少提到，一般教材只介绍前三种方法，但若同时采用行和列的初等变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单。它是从等价标准型的角度给出了可逆矩阵的一种求法，是教学上一种新的尝试。例1：求可逆矩阵的逆矩阵解：构造矩阵文档实用标准文案2.2运用Hamilton-Caley定理求逆矩阵由Hamilton-Caley定理：设是数域上的阶矩阵，为的特征多行式，则设的特征多行式若可逆，则由Hamilton-Caley定理得，，所以即。例1　设，求解：的特征多行式，由Hamilton-Caley定理知

5、因为例2设，试求解：的特征多行式为用除以得文档实用标准文案据Hamilton-Caley定理知，得2.3由分块矩阵求逆矩阵法定理2.3.1设，，，分别是，，矩阵，若，均可逆，则证明：由两边求逆得即同理可求出，，的逆矩阵。故对大型且可分划为以上的分块矩阵，可用此法求逆矩阵。例1求矩阵的逆矩阵解：，，，，故文档实用标准文案2.4用解方程组的方法求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵逆矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。例1求得逆矩阵解：设，先求中主对

6、角线下的次对角线上的元素，，，再求，最后求。设为4阶单位矩阵，比较的两端对应元素，得到；解得，；；解得，；;解得，；；解得，；；解得，；；解得，。文档实用标准文案于是，所求的逆矩阵为：2.5三角矩阵的一种求逆法定理2.5.1：如果阶矩阵，可逆，那么它的逆矩阵是其中利用此定理可以求出其它各种类型三角矩阵的逆矩阵。例1：求上三角矩阵的逆矩阵解：根据上定理可求得文档实用标准文案因此，如果是下三角矩阵，则为上三角矩阵。根据逆矩阵的性质：，再根据上定理可求三角矩阵的逆矩阵。例22.6用恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有通过求逆矩

7、阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，而且变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。例1已知试求并证明，其中文档实用标准文案解：由得到故，而又为正交矩阵，（其中为的转置矩阵）从而2.6同时用行列变换求矩阵逆的方法定理2.7.1如果用有限次行、列初等变换可将矩阵化成单位矩阵，且设用其中的行初等变换将单位矩阵正化为，用其中的列初等变换将单位矩阵正化为，那么证明：设是一个级可逆矩阵则其中，都是级初等矩阵。由此即得是级单位矩阵，又写成那么比较式和式，并记，即得。具体求法用分块矩阵表示就是：文档实用标准文案若，则。当或时，即第二种方法，因此这种求逆

8、矩阵的方法是第二种方法式。例1：设，求。解：由以上定理我们构造矩阵于是，，文档实用标准文案由定理所示的方法可知，它包括了平