2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.3平均值不等式二训练北师大版

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1、1.3平均值不等式（二）一、选择题1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3·z的最大值为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　由x、y、z＞0及≥(其中a1＞0，…an＞0)，∴x2y3z＝··y·y·y·4z≤＝1.答案　A2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，则x的取值范围为(　　)A.B.C.[1，8)D.[8，＋∞)解析　∵x＝＝··＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.答案　D3.已知

2、

3、⊥

4、

5、，

6、

7、＝，

8、

9、＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且

10、

11、＝，则·的最大值等于(　　)A.13B.15C.19D.21解析　建立平面直角坐标系，用

12、坐标法求解.∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设B，C(t，0)，则＝＋＝(4，1)，故点P的坐标为(4，1).·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.答案　A4.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是(　　)A.V≥πB.V≤πC.V≥πD.V≤π解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，于是有V＝πr2h≤π·＝π＝π，当且仅当r＝h时取等号.答案　B5.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是(　　)

13、A.πB.πC.πD.π解析　l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h≤π＝π.答案　A6.在区间上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与g(x)＝在同一点取相同的最小值，那么f(x)在区间上的最大值是(　　)A.B.4C.8D.解析　g(x)＝x＋＋1在x＝1时，取最小值3.∴b＝－2，c＝4.答案　B二、填空题7.函数y＝(x≠0)有最大值______，此时x＝______.解析　∵x≠0，∴x2>0.∴y＝＝≤＝，当且仅当x2＝，即x4＝9，x2＝3，x＝±时取等号，即当x＝±时，ymax＝.答案　　±8.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每

14、平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.解析　设池长xm，则池宽m，水池总造价y＝180×4＋2×2××80＋2×2×x×80＝720＋320·≥720＋320×4＝2000(元)，当且仅当x＝2时“＝”成立.答案　2000元三、解答题9.在△ABC中，如果三内角满足：sin2A＋sin2B＝5sin2C，求证：sinC≤.证明　在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R.又∵sin2A＋sin2B＝5sin2C，∴a2＋b2＝5c2.由余弦定理，得cosC＝＝≥＝＝.由0

15、4个月内完成.若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元.追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用).解　设该城建公司获得的附加效益为y千元，则由题意，得y＝2x－＝118－＝118－＝130－≤130－2＝130－112＝18，当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号.∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益.11.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.证明　法一　因为a，b

16、，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)①＋＋≥3(abc)－，所以≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6③所以原不等式成立.当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立.即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.法二　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋.②故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立.当

17、且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.