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时间:2019-04-16
《2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.4不等式的证明三训练北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4不等式的证明(三)一、选择题1.已知p=a+,q=2-a2+4a-2(a>2),则( )A.p>q B.p0,∴p≥2+2=4,而q=2-(a-2)2+2,根据a>2,可得q<22=4,∴p>q.答案 A2.不等式a>b与>能同时成立的充要条件是( )A.a>b>0B.a>0>bC.<<0D.>>0解析 充分性显然.下面用反证法说明必要性.若a,b同号且a>b,则有<,此时不能保证a>b与>同时成立,∴a,b只能异号,即a>0>b.答案 B3.若f(x)=,a,b都为正数,A=f,G=f()
0,∴p≥2+2=4,而q=2-(a-2)2+2,根据a>2,可得q<22=4,∴p>q.答案 A2.不等式a>b与>能同时成立的充要条件是( )A.a>b>0B.a>0>bC.<<0D.>>0解析 充分性显然.下面用反证法说明必要性.若a,b同号且a>b,则有<,此时不能保证a>b与>同时成立,∴a,b只能异号,即a>0>b.答案 B3.若f(x)=,a,b都为正数,A=f,G=f()
2、,H=f,则( )A.A≤G≤HB.A≤H≤GC.G≤H≤AD.H≤G≤A解析 ∵a,b为正数,∴≥=≥=,又∵f(x)=为单调减函数,∴f≤f()≤f,∴A≤G≤H.答案 A4.设M=+++…+,则( )A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定解析 M是210项求和,M=+++…+<+++…+=1,故选B.答案 B5.若实数m>n,正数a>b,A=(an+bn)m,B=(am+bm)n,则( )A.A>BB.A3、>b>0,∴0<<1.又m>n,∴>,∴amn>amn,即A>B,故选A.答案 A6.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c三数( )A.全为正数B.至多有两个为正数C.至多有一个为正数D.全为负数解析 假设a,b,c不全为正数,∵abc>0,∴有两个负数一个正数,不妨设a,b为负数,c为正数,∵a+b+c>0,c>-(a+b)>0,又∵ab+bc+ca>0,ab>-(bc+ca)=-c(a+b)≥(a+b)2,这与(a+b)2≥4ab矛盾,故假设错误,∴a,b,c全为正数.选A.答案 A二、填空题7.已知4、a5、≠6、b7、,m=,n=,则m,n之间的大8、小关系是____________.解析 m=≤=1,n=≥=1.答案 m≤n8.若9、a10、<1,11、b12、<1,则13、a+b14、+15、a-b16、与2的大小关系是________________.解析 当(a+b)(a-b)≥0时,17、a+b18、+19、a-b20、=21、(a+b)+(a-b)22、=223、a24、<2;当(a+b)(a-b)<0时,25、a+b26、+27、a-b28、=29、(a+b)-(a-b)30、=231、b32、<2.综上,33、a+b34、+35、a-b36、<2.答案 37、a+b38、+39、a-b40、<2三、解答题9.设x>0,y>0,z>0,求证:+>x+y+z.证明 ∵=>x+,①=>z+,②∴由①②得:+>x+y+z.10.若a>0,b>41、0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解 (1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c中至少有一个大于.证明 ∵abc=1>0,∴a,b,c都为正,或者a,b,c中有一正二负.又a+b+c=0,∴a,b,c中只能是一正二负.不妨设a>0,b<0,c<0,则b+c=-a,bc=,即b,c为方42、程x2+ax+=0的两个负实根,∴Δ=a2-≥0,解得a≥>=,∴a,b,c中至少有一个大于.12.已知:a,b,c,d,∈(0,+∞),求证:+≥.证明 法一 如图所示,在Rt△ABC中,设AC=c+a,其中CE=c,EA=a;BC=b+d,其中CF=b,FB=d.由勾股定理得:AB=,以CE与CF为邻边作矩形CEPF,并连接AP与BP.则在Rt△AEP与Rt△BFP中分别有:AP=;BP=.若点P在线段AB上,则AP+BP=AB;①若点P不在线段AB上,则AP+BP>AB;②故,由①,②可知:AP+BP≥AB.即+≥.法二 设=(a,b),=(c,d),则=+=(a,b)+(43、c,d)=(a+c,b+d),所以,44、45、=,46、47、=,48、49、=.若与共线同向时,则有:50、51、+52、53、=54、55、①若与共线反向或不共线时,则有:56、57、+58、59、>60、61、,②故由①,②可知:62、63、+64、65、≥66、67、,即+≥.
3、>b>0,∴0<<1.又m>n,∴>,∴amn>amn,即A>B,故选A.答案 A6.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c三数( )A.全为正数B.至多有两个为正数C.至多有一个为正数D.全为负数解析 假设a,b,c不全为正数,∵abc>0,∴有两个负数一个正数,不妨设a,b为负数,c为正数,∵a+b+c>0,c>-(a+b)>0,又∵ab+bc+ca>0,ab>-(bc+ca)=-c(a+b)≥(a+b)2,这与(a+b)2≥4ab矛盾,故假设错误,∴a,b,c全为正数.选A.答案 A二、填空题7.已知
4、a
5、≠
6、b
7、,m=,n=,则m,n之间的大
8、小关系是____________.解析 m=≤=1,n=≥=1.答案 m≤n8.若
9、a
10、<1,
11、b
12、<1,则
13、a+b
14、+
15、a-b
16、与2的大小关系是________________.解析 当(a+b)(a-b)≥0时,
17、a+b
18、+
19、a-b
20、=
21、(a+b)+(a-b)
22、=2
23、a
24、<2;当(a+b)(a-b)<0时,
25、a+b
26、+
27、a-b
28、=
29、(a+b)-(a-b)
30、=2
31、b
32、<2.综上,
33、a+b
34、+
35、a-b
36、<2.答案
37、a+b
38、+
39、a-b
40、<2三、解答题9.设x>0,y>0,z>0,求证:+>x+y+z.证明 ∵=>x+,①=>z+,②∴由①②得:+>x+y+z.10.若a>0,b>
41、0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解 (1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c中至少有一个大于.证明 ∵abc=1>0,∴a,b,c都为正,或者a,b,c中有一正二负.又a+b+c=0,∴a,b,c中只能是一正二负.不妨设a>0,b<0,c<0,则b+c=-a,bc=,即b,c为方
42、程x2+ax+=0的两个负实根,∴Δ=a2-≥0,解得a≥>=,∴a,b,c中至少有一个大于.12.已知:a,b,c,d,∈(0,+∞),求证:+≥.证明 法一 如图所示,在Rt△ABC中,设AC=c+a,其中CE=c,EA=a;BC=b+d,其中CF=b,FB=d.由勾股定理得:AB=,以CE与CF为邻边作矩形CEPF,并连接AP与BP.则在Rt△AEP与Rt△BFP中分别有:AP=;BP=.若点P在线段AB上,则AP+BP=AB;①若点P不在线段AB上,则AP+BP>AB;②故,由①,②可知:AP+BP≥AB.即+≥.法二 设=(a,b),=(c,d),则=+=(a,b)+(
43、c,d)=(a+c,b+d),所以,
44、
45、=,
46、
47、=,
48、
49、=.若与共线同向时,则有:
50、
51、+
52、
53、=
54、
55、①若与共线反向或不共线时,则有:
56、
57、+
58、
59、>
60、
61、,②故由①,②可知:
62、
63、+
64、
65、≥
66、
67、,即+≥.
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