数字信号处理递归最小二乘算法及其在GPS中的应用.docx

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1、递归最小二乘算法及其在GPS精密单点定位中的应用辛明真（硕研2013-3班2013020331）摘要：本文介绍了递归最小二乘算法的原理方法及其实现过程，重点介绍了递归最小二乘算法在GPS精密单点定位中的作用。同时介绍了递归最小二乘算法在GPS中抑制信号噪声、动态定位中的相关应用。利用MATLAB数据处理软件，对递归最小二乘算法进行了编程实现。关键字：递归最小二乘算法GPS精密单点定位MATLAB1递归最小二乘算法原理1.1矩阵求逆引理设矩阵A∈∁M×M、B∈∁M×M和D∈∁M×M是正定矩阵，且满足关系A=B-1+CD-1

2、CH（1.1）其中C∈∁M×M，。由正定性，矩阵A、B和D是非奇异的。根据矩阵求逆引理，矩阵A的逆为A-1=B-BC(D+CHBC)-1CHB（1.2）矩阵求逆引理的证明非常容易，事实上，只要验证AA-1和A-1A均为单位矩阵即可。矩阵求逆引理表明，如果将矩阵A表示成（1.1）的形式，就可以利用式（1.2）得到其其矩阵A-1。1.2RLS算法原理根据最小二乘估计原理，M抽头FIR滤波器的权向量应满足确定性正则方程为AHAw=AHb（1.3）其中，AH和b分别是数据矩阵和期望响应向量，有AH=u(M)u(M-1)u(M+1

3、)u(M)…⋯u(N)u(N-1)⋮u(1)⋮u(2)⋱…⋮u(N-M+1)（1.4）bH=d(M)d(M+1)…d(N)∈∁1×(N-M+1)（1.5）w是滤波器权向量，有w=w0w1…wM-1T（1.6）为了充分利用观测数据，将AH和b扩展为AH=u(1)0⋮0u(2)u(1)00⋯⋯⋯⋯u(M)⋮u(1)⋯⋯u(N)⋮u(N-M+1)∈∁M×N（1.7）bH=d(1)d(2)⋯d(M)⋯d(N)∈∁1×N（1.8）容易理解，扩展后的数据矩阵和期望响应向量仍然满足确定性正则方程。将AH表示为列向量的形式，即AH=u(

4、1)u(2)⋯u(N)（1.9）其中un=u(n)u(n-1)⋯u(n-M+1)T,n=1,2,…N是矩阵AH的第n列向量。这里假设当n<0时，u(n)=0。定义输入数据的时间相关矩阵Φ(N)和时间互相关向量z(N)分别为ΦN=AHA=i=1Nu(i)uH(i)（1.10）zN=AHb=i=1Nuid*(i)（1.11）于是，确定性正则方程式（1.3）可以表示为ΦNw=z(N)（1.12）式（1.12）利用1~N时刻的数据构造了确定性正则方程。那么在任意时刻n(1

5、(n)（1.13）其中Φn=i=1nu(i)uH(i)（1.14）zn=i=1nuid*(i)（1.15）为使算法在非平稳环境下，也能合理地跟踪输入数据统计特性的变化，在Φn和zn中引入遗忘因子λ（0<λ≤1），有Φn=i=1nλn-iu(i)uH(i)（1.16）zn=i=1nλn-iuid*(i)（1.17）显然，遗忘因子使得离当前时刻近的观测值，对相关矩阵和互相关向量的影响较大，而较久远的值则影响较小。由式（1.13），在n时刻，若Φn非奇异，则滤波器权向量的最小二乘估计为w=Φ-1nz(n)（1.18）在实际应用

6、中，为避免Φn是奇异的（尤其当n

7、(n)（1.20）根据Φn的定义，不难看出，式（1.20）可以写成从n-1时刻到n时刻的递推公式，即Φn=λΦn-1+u(n)uH(n)（1.21）可以对式（1.17）中的z(n)进行类似的变形，有zn=i=1nλn-iuid*(i)+und*(n)其中，上式得第一项就是第n-1时刻的时间互相关向量z(n-1),因此有递推公式zn=λzn-1+und*(n)（1.22）下面将利用矩阵求逆引理，实现式（1.18）的递推求解。令A=ΦnB-1=λΦn-1C=u(n)（1.23）D=1则式（1.21）可以写成A=B-1+CD-

8、1CH由矩阵求逆引理，可以得到矩阵A的逆为A-1=B-BC(D+CHBC)-1CHB将式（1.23）代入上式，可得Φ-1n=λ-1Φ-1n-1-λ-2Φ-1n-1u(n)uH(n)Φ-1n-11+uH(n)Φ-1n-1u(n)（1.24）令Pn=Φ-1n（1.25）kn=λ-1Pn-1u(n)1+λ-1uH(n)Pn