2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末综合检测苏教版

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1、第3章空间向量与立体几何一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________．解析：A、B、C三点共线，则有与共线，即＝λ，又＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋4)，∴解得答案：3　2已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，则＝________.(用a，b，c表示)解析：显然＝－＝(＋)－.答案：－a＋b＋c在下列条件中，使M

2、与A，B，C一定共面的是________(填序号)．①＝3－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.解析：①对，空间的四点M，A，B，C共面只需满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A，B，C共面．答案：①③已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a，b成120°的角，则k＝________．解析：cos〈a，b〉＝＝＝－<0，∴k<0，∴k＝－.答案：－已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝

3、60°，则AC′等于________．解析：只需将＝＋＋，运用向量运算

4、

5、＝即可．答案：已知A(－1，－2，6)，B(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是________．解析：利用cos〈，〉＝＝－1.即向量与的夹角是π.答案：π设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是________三角形．解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．答案：锐角已知A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，则△ABC的面积为________．解析：

6、应用向量的运算，计算出cos〈，〉，再计算sin〈，〉，从而得S＝

7、

8、

9、

10、·sin〈，〉＝.答案：下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直；其中正确的个数为________．解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确．答案：3在空间直角坐标系O－xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方

11、向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝________．解析：如图所示，设

12、a

13、＝m(m＞0)，a＝，PA⊥平面xOy，则在Rt△PBO中，

14、

15、＝

16、

17、·cos〈a，i〉＝m，在Rt△PCO中，

18、

19、＝

20、

21、·cos〈a，j〉＝，∴

22、

23、＝，在Rt△PAB中，PA＝＝＝，∴OD＝，在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝＝，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.答案：60°在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为______

24、__．解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，所以cos〈，〉＝－，故sin〈，〉＝.答案：点P是棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1内一点，且满足＝＋＋，则点P到棱AB的距离为________．解析：如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连结PE.∵＝＋＋，∴PQ＝，EQ＝，∴点P到棱AB的距离为PE＝＝.答案：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠AC

25、B＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦值为________．解析：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)．∴E(，，1)，G(，，)，∴＝(，，)，＝(0，－a，1)，∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2.∴＝(，

26、，)，＝(2，－2，2)．∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，那么cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为＝.答案：在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为：d＝，则在底面边长与