高考文科命题热点名师解密专题：空间中的平行与垂直证明技巧

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1、专题23空间中的平行与垂直证明技巧一．【学习目标】（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题．（2）学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化．（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题．不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”二.【知识点及方法归纳】1．直线与平面平行的判定(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那

2、么这条直线和这个平面平行，即a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.(2)如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则a∥β.2．直线与平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b，．3．直线与平面垂直的判定(1)(定义)如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．(2)(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：若m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l

3、⊥m，l⊥n，则l⊥α.(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：若a∥b，a⊥α，则b⊥α.(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．4..两平面平行的判断方法(1)依定义采用反证法.(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判

4、断两平面平行.(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.5.平行关系的转化程序线线平行线面平行面面平行从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向.三【解题方法总结】1．证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明．2．直线与平面平行的判定方法：(1)a∩α＝∅⇒a∥α(定义法)，(2)⇒a∥α，这里α表示平面，a，b表示直线．【点睛】本题主要考查

5、了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。练习1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.【详解】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，由，可得，由，则，解得，则

6、，在直角中，，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在中，，由余弦定理可得，即，所以截面的周长为，故选B.【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.练习2．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则（）A．点必在直线上B．点必在直线上C．点必在平面外D．点必在平面内【答案】B【解析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，

7、根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．【点睛】本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明．练习3．如图所示，有一木块，点P在平面内，棱BC平行于平面．要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有n种锯法，则n为（）A．0B．1C．2D．无数【答案】B【解析】因为平面，所以过平面上点作，只需没过,所确定的平面锯开即可又由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选B．【点睛】本题考查确定平面的一句，属基础题.（二）异面直线例2．平面外有

8、两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是().A．若，则B．若，则C．若，则D．若和相交，则和相交或异面【答案】D【解析】本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可。【详解】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,