高考文科数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙（含答案）

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1、专题18解创新数列之匙一．【学习目标】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想

2、、归纳猜想思想等．1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．二．【方法总结】1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意.(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列

3、性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解.(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题.三．题型典例分析1.数列与函数的综合例1.设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）A.B.9C.18D.36【答案】C【方法规律总结】本题

4、主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式练习1.设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）A.B.9C.18D.36【答案】C【解析】∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[an（an+1）]∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，

5、数列{an}各项为正数∴Sn=an（an+1）①当n=1时，可得a1=1；当n≥2时，Sn-1=an-1（an-1+1）②，①-②可得an=an（an+1）-an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0∵an＞0，∴an-an-1-1=0即an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n即an=n所以故选C练习2.已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】∵是奇函数，∴，令，，令，，∴，∴，令，∴，令，∴，∵，∴，

6、同理可得，，∴，故选练习3.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令f(x)=x3+2016x,则f′(x)=3x2+2016>0，所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数。由条件得,f()=−1,f()=1，∴,从而+=2，又等差数列的前项和为，所以===2016，因为f()=−1,f()=1,f(x)在R上单调递增，所以>,即>，故选：D.练习4.数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：①；②当时，().记这样的数列个数为.（I）写出的值；（II）证明不

7、能被4整除.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，易得：；（2）把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或3.分成三类情况，利用已知条件逐一进行验证即可.试题解析：（Ⅰ）解：.（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或3.（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；（3）若则或.设是这数列中第一个出现的偶数，则前项应该是，是或，即与是相邻整数.由条件②，这

8、数列在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：，.由此递推关系和（I）可得，各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又，所以被4除的余数与被4