数学与应用数学毕业论文--泰勒公式的若干应用

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1、学号32班级087兰州城市学院本科毕业论文泰勒公式的若干应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：指导教师：二○一○年六月15BACHELOR'SDEGREETHESISOFLANZHOUCITYUNIVERSITYSomeApplicationsofTaylor'sformulaCollege：MathematicsSubject：MathematicsandAppliedMathematicsNameDirectedby：June201015郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料

2、真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名：日期：15Taylor公式的若干应用徐国丽（数学学院087班32号）[摘要]泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，被广泛地应用在许多数学问题的计算和证明上。本文主要介绍泰勒公式在极限运算、极值问题、证明不等式问题、积分问题、微分方程问题及行列式计算等方面的应用。[关键词]泰勒公式；极限；不等式；近似计算；积分；n阶行列式Abstract：

3、Taylor'sformulaisamathematicalanalysisofanimportantformulahasbeenwidelyusedinthecalculationofmanymathematicalproblemsandproof.ThisarticlefocusesonTaylor'sformulainthelimitsofcomputing,extremumproblems,toproveinequalityproblem,integralproblems,differentialequationproblemandcomput

4、ingthedeterminantoftheapplication.Keywords：Taylor'sformula;limits;inequality;approximatecalculation;points;n-orderdeterminant第1章绪论泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，被广泛地应用在许多数学问题的计算和证明上，灵活应用泰勒公式可以使一些复杂问题简单化。第2章正文泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容,但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数,而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论。在高等数学教材中,一般只讲泰勒公式及几个常

5、用函数的麦克劳林公式,对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。下面举例阐述泰勒公式几种常见的应用技巧。152.1泰勒公式及泰勒中值定理如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当在内时,可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中(介于与之间).2.2常用的几个初等函数的泰勒展开式常用函数的麦克劳林公式2.3利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用泰勒展开来代替其中的一项，使得原来函数的极限问题转化为

6、多项式有理分式的极限问题。并且还可以解决一些用洛必达法则较难解决的题。下面举几个例子来说明利用泰勒公式求极限。15例1求极限分析：此为型极限，若用罗比达法则很麻烦。这时可将cosx和分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。解：因为分母的次数为4，所以只要把cosx,展开到x的4次幂即可。所以，例2求极限解利用泰勒公式又因此例3求的极限解因为所以15又因为所以，泰勒公式是很精细的分析工具,利用泰勒公式求极限时,应采用佩亚诺余项的泰勒公式,因此对于常用的函数如、、sinx、cosx、的展开式应熟记。运用泰勒公式法需要注意的一个问题是将函数展开至多少项才可以

7、呢？其实从例题不难看出，只须展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶即可。2.4利用泰勒公式判断函数极值讨论函数极值通用的方法是：当且时，是的极小（大）值。但如果是此方法不能判别是否为极值点，可用泰勒公式。比如：若在点处一、二、三阶导数全为0，由泰勒公式可知：当时在处取到极小值：当时在处取到极大值。例1已知函数在x=a邻域内二阶可导，且当x=a时取得极小值f(a)=0，问在x=a能否取得极值，如有极值，极值为多少？15解：在x=a处，泰勒展开为：由于在x=a取得极值，故，又由于取的极小值，故。因此，可表示为：，因为，又，故g(x)在x=a处取得极大

8、值，极大值为1。例2设函数在点的某邻域内具有n阶连续导数,且则:当n为偶数时,为的极值点。证明