数学与应用数学本科毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的应用

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1、安徽大学本科毕业论文题目：矩阵的特征值与特征向量的应用学生姓名：学号：学院：数学科学学院专业：数学与应用数学入学时间：2007年9月导师姓名：职位：副教授导师所在单位：安徽大学数学科学学院摘要矩阵的特征值与特征向量是数学中的古老而重要的问题，在很多学科领域中有着广泛的应用。本文首先介绍了矩阵的特征值与特征向量的概念和基本性质，其次主要讨论特征值与特征向量在高等数学、图论、微分方程等领域中的应用，并举例加以说明。关键词：特征值；特征向量；矩阵；稳定性AbstractThisarticledescribessometheoriesofeigenvaluesandei

2、genvectorsofthematrix,basedonthesetheorieswedosomepromotions,anddiscussestheapplicationsofeigenvaluesandeigenvectorsofmatrixthroughtheirpropositionsandnature.Keywords:eigenvalue;eigenvector;matrix;stability目录第一章引言1第二章矩阵的特征值与特征向量22.1一般矩阵22.1.1特征值与特征向量22.1.2特征值与特征向量的性质22.2特殊矩阵类52.2.1He

3、rmite矩阵的特征值52.2.2M矩阵的特征值6第三章矩阵的特征值与特征向量的应用73.1在高等数学中的应用73.2在图论中的应用93.3在数论中的应用103.4在微分方程与稳定性分析中的应用123.4.1在微分方程中的应用123.4.2在Lyapunov稳定性中的应用15结束语：17参考文献：18致谢19第一章引言本文旨在探讨矩阵的特征值与特征向量在数学其他领域中的应用，我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。在适当的选择基

4、之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式。为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要性。物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量。由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，还讨论了特征值与特征向量的反问题。特征值问题的实用性论述可能使许多人都感

5、兴趣，其中包括设计工程师、理论物理学家、经典应用数学家以及那些旨在矩阵领域进行研究的数值分析家。工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方正的特征值和特征向量的问题，数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题，也都要用到特征值的理论。故其应用之广泛可见一斑。19第二章矩阵的特征值与特征向量2.1一般矩阵2.1.1特征值与特征向量定义2.1【1】设,若，，使得（2.1）成立，则称为的特征值，为的对应特征值的特征向量。将式(2.1)改写成这表明特征向量是齐次线性方程组的非零解，由线性方程组的理论知，为的特征值的充分必要条件是行列式（2.2）式（

6、2.2）称为矩阵的特征方程，特征方程的根就是的特征值。多项式称为的特征多项式，而矩阵称为的特征矩阵。2.1.2特征值与特征向量的性质性质2.1【1】设，则（2.3）其中为矩阵的迹。事实上，在19的展开式中，只有一项是主对角线上元素的连乘积，即（2.4）而展开式中其余各项至多包含（n-2）个主对角线上的元素，所以特征多项式中含的n次与（n-1）次的项只能在对角线上元素的连乘积，即式（2.4）中出现，它们是在特征多项式中，令，即可得它的常数项为因此，若只写出特征多项式的前两项与常数项，则有式（2.3）。因为为n次多项式，由代数学基本定理知道，在复数域上可作如下因式分

7、解：式中：为的互异零点，从而是的互异特征值；为特征值的重数，称为的代数重数，也说为的重特征值，。特别地，时，也称作单特征值。于是有：性质2.2【1】n阶矩阵有且仅有n个特征值，其中m重特征值以m个计。应指出，5次或5次以上的多项式方程一般没有公式求解的。所以对于阶数较大的矩阵，实际上求特征值是非常困难的，因而就要研究特征值的各种近似求法。性质2.3【1】设为的n个特征值（未必互异），则显然当且仅当具有零特征值。设用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，而称为的元素的共轭转置矩阵。19容易验证矩阵的共轭转置运算具有下列性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）如

8、果可逆，则。性质2.4【