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1、矩阵的特征值与特征向量的若干应用Severalapplicationsofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrix专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论,在此理论基础上做了一定的推广,并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用.关键词:特征值;特征向量 ;矩阵;递推关系IAbstractThisarticledescribessometheoriesofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrix,b
2、asedonthesetheorieswedosomepromotions,anddiscussestheapplicationsofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrixthroughtheirpropositionsandnature.Keywords:eigenvalue;eigenvector; matrix;recursionrelations I目录摘要IABSTRACTII0引言11关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论12矩阵特征值与特征向量的几个应用52.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用5
3、2.1.1命题的证明52.1.2命题的应用72.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用72.2.1命题的证明72.2.2命题的应用92.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用112.3.1特征值与特征向量的基本性质112.3.2性质的应用123小结15参考文献160引言为了利用矩阵研究线性变换,希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式,因此我们引进了特征值与特征向量.特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用,充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助,能使复杂的问题变的简单,化简为易,化繁为简.本文就矩阵的
4、特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.(见参考文献[1][2][4]) 1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始,我们主要的来讨论,在适当的选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的,先介绍特征值和特征向量的概念,它们对于线性变化的研究具有基本的重要性．定义1.1设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得则称是矩
5、阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量．现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法,设是数域上维线性空间,是它们的一组基,线性变换就是在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是.则由,这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组即第15页,共16页(1.1)由于,所以它的坐标不全为零,即齐次线性方程组有非零解.从而,齐次线性方程组（1.1）式,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零,即．我们引入以下定义.定义1.2设是数域上一级矩阵,是一个文字.矩阵的行列式，称为的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明,如果是线性变
6、换的特征值,那么一定是矩阵的特征多项式的一个根;反过来,如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根,即,那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解.这时，如果是方程组（1.1）式的一个非零解,那么非零解向量.满足（1.1）式,即是线性变换的一个特征值,就是属于特征值的一个特征向量．因此,确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：1、在线性空间中取一组基,写出在这组基下的矩阵;2、求出的特征多项式在数域中全部的根,它们也就是线性变换的全部特征值;3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式,对于每一个特征值,解方程组第15页,共16页（1.
7、1）式，求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标,这样,我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值,而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量．例1设线性变换在基，，下的矩阵是，求的特征值与特征向量．解因为特征多项式为,所以特征值-1（二重）和5．把特征值-1代入齐次方程组得到它的基础解系是，．因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是，第15页,共16页而属于－1的全部特征向量就是，，取遍数域中不全为零的全部数对.再用特征值5代入,得到，
8、它的基础解系是．因此,属于5的一个线性无关的特征向量就是，而属于5的全部特征向量就是,是数域中任意不等于零的
