线代期末复习要点

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1、线代期末复习要点笫一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如冇行和、列和相等）；矩阵的运算（包扌舌加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极人无关组线性表示；将无关组止交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过止交相似变换（止交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵

2、，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的止定性。第二部分：基木知识一、行列式行列式的定义用n^2个元索aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取口不同行不同列的n个元素乘枳的代数和;（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2.行列式的计算-阶21=0行列式，二、三阶行列式有对角线法则;N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法尬理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的

3、乘积；（2）行列式值为0的儿种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二.矩阵1•矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、対角、对称矩阵等）；2.矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA,称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则

4、AB

5、=

6、A

7、*

8、B

9、；©

10、kA

11、=kAn

12、A

13、3.矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法

14、一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4.逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；(2)性质：(AB)A-1=(BA-1)*(AA-1),(Ar(A,b)wr(A)无解;r(A,b)=r(A)=n有唯一解;r(A,b)=r(A)

15、A

16、

17、*O只有零解(2)

18、A

19、=0有非零解2.齐次线性方程组)〜lNAT)1；(AB的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3)nJ逆的条件：①

20、A

21、^0；②r(A)=n;®A->I;(4)逆的求解伴随矩阵法AA-1=(1/

22、A

23、)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)・>(施行初等变换)(I:A~1)2.用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B,贝

24、JX=(AA-1)B；XB=A,贝ijX=B(AA-1)；AXB=C,则X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1.线性方程组解的判定定理：（1）解的情况:r（A）=n,（或系数行列式DfO）只有零解；r（A）＜n,（或系数行列式D=0）

25、有无穷多组非零解。（2）解的结构：X=clal+c2a2+...+Cn-ran-ro（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项，利用口山未知数农示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。2.非齐次线性方程纟R（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+clal+c2a2+...+C（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）I唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1.N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2.向量的运算：（1）加减、数乘运算（

26、与矩阵运算相同）；（2）向量内积a*p=albl+a2b2+...4-anbn；（3）向量长度

27、a

28、=Va'a=V（alA2+a2A2+...+anA2）（V根号）（4）向量单位化（l/

29、a

30、）a；（5）向量组的正交化（施密特方法）设al,a2,...»an线性无关,则pl=al,P2=a2-（a2乍1/（31乍）*pl,B3=a3・（a3zpl/pizpl）*pl-（。3乍2侈2乍2）*02,1.线性组合an的一个线性（1）定义若p=klal+k2a2+...+knan,则称（3是向量组a