山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(1)

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1、密封线题号得分七五总分审核3.若齐次线性方程组=0中m

2、(D)Ax=0必有非零解则在A的列向量中(A)(A)必有厂个列向量线性无关(B)(C)任意厂个列向量都构成最大无关组任意一个列向量都可由其中厂个列向量线性表示(D)任意厂个列向量线性无关5.3阶方阵A与B相似，A的特征值分别为-2,-2,1,则

3、2(B+E)

4、=(16得分阅卷人三、解:(10分)计算行列式D1-12113-4-53-311-12113-4101-11-53-311-212-110001-520得分阅卷人5-二、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A,3均为〃阶方阵，则下列等式中

5、一定正确的是(A)(人一3)2=人2—243+决(C)(A+B)2=A2+2AB+B2(AB)k=AkBk(A+E)2=A2+2A+£2.若〃阶矩阵A存在一个s阶非零子式，而且A的所有的/阶子式都等于零，则(B)(A)t

6、向量组4：21-1

7、A

8、=21-12-122-12，解矩阵方程AXA^=E（6分）因此：（1）/?（A）=3,坷卫2®是向量组4的一个最大线性无关组(2)a3=2角-a2得分阅卷人（2分）（2分）六.（10分）设匸为〃维列向量，xtx=9令H=E-2xx,证明H是对称的正交阵.证明：因为R=(E—2xxT)t=£-2(农)丁=E—2xxT=H,所以H是对称阵.(5分)00-1（4分）吗=（1丄1,1）卩“=（1,一1丄一1）卩4二心丄彳几為=（1厂1厂1」）匚（1）求向量组A：ciua2,a

9、3,a4的秩及其一个最大无关组；（2）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.解：用这些向量作为列向量得矩阵A,并对其施行初等行变换(11］、"I02o-1-13-1ry01-10111-10001〔1-13d_0000人=（吗卫2卫3卫4）=又HHt=H2=(E-2xxt)2=(E-2xxt)(E-2xxt)=E+4(xxt)(xxt)-4xxt=E+x)x7一4xy7=E+4xxt一4xxT=E所以H是正交阵.故H是对称的正交阵.(5分)<10n2-10OJnln^得分阅卷人+x2+

10、x3=1七、（15分）问久取何值时，非齐次线性方程组v+Ax2+=A兀］+兀2+几兀3=久2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷解？并在有无穷多解时求其通解.A1解：

11、A

12、=1211=(/l-l)2U+2)（1）当制工0时，即当兄H1,2#-2时,得分阅卷人八、（15分）设A=求一个正交矩阵P,使P'^AP=A为对角阵.解由

13、A-AE

14、=-(A-l)(A-2)a-5)得A的特征值人=1,希=2,希=5.(6分)"0、<0、得基础解系5二-1，单位化得P=疋-11ZJ丿当人=1时，解（A-

15、E）x=O,（2分）(-2111、<11-24、1-21-20-33-6同理，当易=2时，解（A-2£）x=0，得基础解系§2=弓=0〔11-24；k0003丿(0.方程组有惟一解.（6分）（2）当A=-2时，增广矩阵〃=（4分）仃11P〔1111]（3）当2=1时，增广矩阵B二11110000J111；000丿可见&A)=2,R(B)=3,R(A)丰R(B),方程组无解.可见R（A）=R（B）=1<3,方程组有无穷多解.「1、<-1>1+c20+0，丿小丿O,(C]£GR)其通解为：X=c./

16、<1>"0、V、兀2=G0+G1+0jj丿丄（或其通解为（2分）（2分）（3分）"0、1当人=5时，解（A-5E）x=O,得基础解系：=1J丿,单位化得呂=厉1（2分）于是所求正交矩阵为fl且有P~'AP==001"?21