山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(3)

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1、得分阅卷人一、填空题(每小题3分，共15分)1.四阶行列式中带正号且含有因子d][d・23的项为。11。23。34。42・2.设A为3阶矩阵，斗为A的伴随矩阵，

2、4

3、=占，则

4、(2A『—5A>—16.<010、“01、【123、‘452、3•设100A010=456,则人=122<001丿<0°1丿<789丿(782丿4.5.二次型f(x)=xT4•设人，易为4的两个不相同的特征值，Q和0为A的分别属于入与入的特征向量，则a(A)线性无关(B)线性相关(0对应分量成比例(D)可能有零向量5.已知3阶矩阵4的特征值为1,2,3,则A3-5A2+7A等于(A)

5、7(B)-7(018(D)-18/2r<31>兀的矩阵是"2<22、得分阅卷人1.在函数/(兀)(A)1二、单项选择题(每小题3分，共15分)~x2(B)T中，疋的系数等于(C)2(D)一22•设均为刃阶非零矩阵，且AB=0,则A和B的秩得分阅卷人三、(10分)计算行列式(D〃为〃阶行列式，«>2为整数),其中主对角线上元素都是未写出的元素(A)必有一个等于零(C)—个小于”，一个等于〃3.〃阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(0Ax=bm(D)Ax=0仅有零解(B)都等于n(D)都小于na00010a00

6、0解：00a00(按第n行展开)000a0100••0a00001a0000a=(-1严0a000+(-l)f000a0a=(-1)曲■■■+G”=an--厂==an~2(a2-l)•a(川-2)(畀-2)都是0.(n-l)x(n-l)(5分)(5分)密封线得分阅卷人'0四、“0分）设人=1-1解：由AB=A+2B可得(A—2E)B=A,(4—2E,E)=<-21-13-120、0b‘-233、-1<033、1-10110<-121><-123丿B=(A-2E)^A得分阅卷人五、(1)/?(A)=1;(2)R(A)=2;解(1(10分)设A二-1

7、/?(A)=3.3、03丿又因为"2~21<2-22k-2A二(-2-12k3k、-3r「1-1k、0k-1k-11k-23丿/,00-伙-1)伙+2)丿R(A)=1；当R=1时,当k=-2时，R(A)=2;当且比工_2日寸，7?(A)=3.丄'1丄_2£232£23、232丄2求B.——（4分）得分阅卷人六、（10分）设人=2-213、9—528,,求一个4x2矩阵使AB=O,且R（B）=2.解显然B的两个列向量应是方程组Ax=0的两个线性无关的解.因为32j_2£232322‘033、r033、110=-123-123丿<11°丿（6分）3k、-

8、3，问R为何值，可使3丿(7分)(3分)厂2—213、〜,9—528丿~所以与方程组Ax=0同解方程组为%,=(1/8)x3-(1/8)x4=(5/8)“+(11/8)兀取(x3,x4)z=(8,0)7，得(xpx2)0-1/81/8、1-5/8一11/8丿取(x3,x4f=(O,8)r，得(xpx2f=(-l,ll)r.方程组Ar=0的基础解系为§=(1,5,&0)7；冬=(一1，11，0,8)7'.因此所求矩阵为B<158II08丿(5分)(5分)□

9、r>得分阅卷人r201、七、（10分）设矩阵A=31X可相似对角化，求兀.,405丿2-201A-A

10、E=31—2X—2(2-6),405-Z得分阅卷人九、（10分）设《2,，色是一组线性无关的“维向量，证明:任一兀维向量都可由它们线性表示.证明：设d为任一n维向量.因为a®，，S，a是斤+1个71维向量，所以44，,陽卫是线性相关的。（5分）又因为坷卫2，，色线性无关，所以d能由，色线性表示，且表示式是唯一的.（5分）得A的特征值为人=6,入=4=1・（3分）因为A可相似对角化，对应于人=6齐次线性方程组（A-6E）x=0有一个线性无关的解，所以对应于入=入=1,齐次线性方程组（A-E）x=0有两个线性无关的解，因此R（A-E）=.由（4分）501、

11、»•U01、30x/00X-3、404丿,0°0丿(A_E)=得分阅卷人(3分)八、（10分）判定二次型f=-2x2-6y2-4z2+2xy+2xz的正定性.解二次型的矩阵为A<-21、11-6010一4丿/(3分)因为-21如“2<0‘1_6=11>0,

12、A

13、=-38<0,(7分)所以/为负定.