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《芝罘区数学数列求和8法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列求和方法一.公式法:利用以下公式求数列的和].s“=也如=呦+乜slid(仏｝为等差数列)4^1-q1-q(qH1)或S〃=na{(q=1)({an}为等比数列)3.12+22+32+7n(〃+l)⑵2+1)+/T=6”"+3'+•……+宀［呼］2等公式例1已知数列｛陽｝,其中aA=I®=3,2%=an+[+an_｛(n>2),记数列[an]的前兀项和为Sn,数列｛InS”｝的前n项和为匕,求匕o解：rti题意，｛色｝是首项为1,公差为2的等差数列前几项和S=~•/?=/?,lnSw=ln/?2=2Inn”2Un=2(lnl+ln2Inn)=21n(n!)二、分组求和法对于数列｛atl｝,
2、若色=»土C：…且数列｛化｝、｛cM｝……都能求出其前〃项的和，则在求也讣前〃项和吋，可釆用该法例如：求和：Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+……+0.9・・・9sV'”个9解：设°=0.9……9=1一10一"打V7Z〃个9•••Sn=ax++ciy+6f4+二(1一10“)+(1-10-2)+(1-10-3)+(1-107)+……+(1-10-”)=Q+1+：••…±1)-(10_,+10~2+10-3+10_4+……+1(T")"个1相加=/2--(l-10~W)9三、倒序相加法(或倒序相乘法)将一个数列倒过來排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(绚+%)，Sn
3、表示从第一项依次到笫n项的和，然后乂将Sn表示成笫n项依次反序到笫一项的和，将所得两式相加，由此得到5的一种求和方法。1.倒序相加法例设fM=—,利用课本中推导等差数列的前川项和的公式的方法，可求得2"+丁2/(一5)+/(-4)+・・.+/(())+•••+/(5)+/(6)的值为：o——^2X]2*近解:因为心=〒石—21'+血一2+"・2“一血+2"•V(X)+f(1_兀)—.2v1+—2XI,V2_j2V2+2r41+TV2+2xa/2+2x1_V2TTT设s才(-5)4/(—4)+・・・4/(6),贝I」S才(6)±f(5)+…廿(-5)2S=(/(6)+f(—5))+(/(5)+
4、f(—4))+…+(/(—5)+…/(6))=6a/2S=f(—5)+f(—4)+…廿(0)+…£(6)=3V2.2.倒序相乘法例如：已知Q、b为两个不和等的正数，在0、方Z间插入H个止数，使它们构成以G为首项，方为末项的等比数列，求插入的这斤个正数的积几解：设插入的这川个正数为％、Cl2>6f3、。”且数列0、Q[、。2、、a”、方成等比数列则cib=a、•an=a2•an^=IPn=a]®®①又Pn=nan-2°】……②由①X②得p；=(叩“)@2%_1)(d“d
5、)=(ab)"n・・・p”=(ab)2四、错位相减法对于数列仏｝,若=bn-cn且数列｛仇｝、｛c“｝分别是等差数列、等比数列
6、时,求该数列也”｝前〃项和时，可用该方法。一般在己知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。例1已知数列[an｝:an=(2m-1)・3",求数列｛%｝前n项和Sn解:5n=lx3'+3x32-5x33+……+[2®-1)-1]-3心+(2n—1)•3”在上式两边同乘以(或除以)等比数列｛3"｝的公比3,得3S&二1x3?+3x3彳+5x3°+……+[2(/?-1)-1]3"+(2n一1)3/,+,由①〜②(两等式的右边错位和减)25n=lx3,+(3x32-1x32)+(5x33-3x33)+---
7、+｛(2h-l)3n-[2(/?一1)一1]3"｝-⑵2-1)3,,+1=lx3,+2x32+2x33+---+2x3rt-(2n-l)3rt+1=lx314-2(32+33+•••+3rt)-(2n-l)3M+,3+(3n+,-9)-(2n一1)•3n+1=(2-2n)3n+1-6•••Sn=(n-l)-3,,+l+3五.裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的羌，这样祭个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之旁，其屮每项的被减数一定是麻血某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前勺项和公式.它适川于型(其中｛*»｝是各项不为0的等差数列，c为常数).部分无理数
8、列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有:1.1_1n(n+1)nn+12.(2-1)0+1)2'2上-為1二1[1]n(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)/7==—(y)n--k—yjn)yjn+k+y/nk述有：=/(/?+1)-/0?)；了計7F=(2«)2(2-1)(2卄1)1+¥壮7一缶)：盂誥苛"呛+DIa"等。例1已知数列｛aH｝:an=—j=一(n>2),求数列｛%
