用提公因式法把多项式进行因式分解(含答案)

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1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基木也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母吋，取相同字母的最低次幕。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也对以是多项式。下面我们通过例题进一步学习川捉公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解(1)-a2xm+2+ab严一acxm一(2)a(a—b)'+2ci~(b—-2ab(b-a)分析：(1)若

2、多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在捉岀“一”号后，多项式的各项都耍变号。解：—+肋利°—依才—处曲=-axnax2—加+c+F)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为口然数时，(a_b)2“=(b_；(d—b)2“T=—(b—d)2"T,是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(a-by+2cz2(/?-6/)2一2ab(b-a)=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)=a(a一b)[(d-bf+2°(d-b)+2b]=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b)2.利用提公I

3、大I式法简化计算过程..、］q.ice987987987987例：计算123x+268x+456x+521X1368136813681368987分析：算式中每一项都含有——，可以把它看成公因式捉収出来，再算出结果。1368987解：原式=——x(123+268+456+521)1368987=——x1368=98713681.在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组!严+[一3「求代数式(2x+y)(2;c—3y)+3x(2x+y)的值。[5x_3y=_2分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5兀-3歹看成整体，它们的值分別是3和-2,观察代数式，发现每一项都

4、含冇2x+y,利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2兀+y和5兀一3y的式了，即可求岀结果。解：(2x+y)(2x一3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x一3y+3x)=(2x+y)(5x一3y)把2x+y和5x-3y分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。2.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3“+2一2卄2+3"-2"一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。q/i+2=3Z,(32+l)-2n(22+1)=10x3"—5x2"•••対任意自然数n,10x3"和5x2〃都是10

5、的倍数。...3卄2一2”+2+3”_2”一定是1()的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x-2)-(2-x)解：3x(x-2)-(2-x)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有看是否能通过变形转换得到。3兀(x—2)+(兀一2)(兀一2)(3兀+1)例2.分解因式：4讥1一“)3+2(0-1)2解：4^(1-p)3+2(p-l)2=4^(1-p)3+2(1-p)2=2(1-p)2[2g(l-p)+l]=2(l-p)2(2q_2pq+l)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简

6、。题型展示：例1.计算：2000x20012001-2001x20002000精析与解答：设2000=a,则2001=a+l・•・2000x20012001-2001x20002000=a[10000(°+1)+(a+1)]—(a+1)(10000°+a)=a(a+1)x10001-a{a+1)x10001=a(d+1)x(10001—10001)=0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中200()、2001重复出现，又冇2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从

7、而简化计算。例2.已知：/+加+c(b、c为整数)是疋+6^+25及3*+4/+28兀+5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2+bx+c是3(*+6,+25)及3x4+4x2+28x+5的因式。因而也是-(3x4+4x2+28%+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：•・•X2+bx+c&3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的公因式・•・也是多项式3(*+6x2+25)一(3x4+4x2+28x+5)的二次因式而3(x4+6x2+25)一(3兀°+4x2

8、+28x+