公因式法把多项式进行因式分解(含答案)

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1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基木也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母吋，取相同字母的最低次幕。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也对以是多项式。下面我们通过例题进一步学习川捉公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解(1)-a2x,n+2+ab严一acxm-ax,n+3(2)—b)'+2a~(b--2ab(b-a)分析：(1

2、)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在捉岀“一”号后，多项式的各项都耍变号。解：-a2xm+2+abxm+}-acxm-axm+3=-axnax2—加+c+*)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为口然数时，(a_=(b_a严;⑺—/^门@—是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a{a-bY-¥2a2(h-a)2-2ab(h-a)=a(a一b)3+2/(o—Z?)2+2ab{a一b)=a(a一b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]=a(a一b)(3a2一4ab+b2+2b)2.利用提公I

3、大I式法简化计算过程..987987987987例：计算123x+268x+456x+521X1368136813681368987分析：算式中每一项都含有——，可以把它看成公因式捉収出来，再算出结果。1368987解：原式=——x(123+268+456+521)1368987=——x1368=98713681.在多项式恒等变形中的应用2x+y=3例：不解方程组「求代数式(2兀+刃(2兀一3刃+3班2兀+刃的值。[5%-3y=-2・分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3y看成整体，它们的值分別是3和-2,观察代数式，发现每一项都含冇2x+y,利用提公因

4、式法把代数式恒等变形，化为含有2兀+y和5x—3y的式了，即可求岀结果。解：(2x+y)(2x-3y)+3x(2%+y)=(2x+y)(2x一3y+3兀)=(2x+y)(5x一3y)把2x+y和5兀-3y分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。2.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3"+2-2"+2+3“一2"一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。77+2=3M(32+1)-2W(22+1)=10x3"—5x2"•••対任意自然数n,10x3"和5x2〃都是10的倍数。...彳⑷_2〃+2

5、+3“_2"—定是1()的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x-2)-(2-x)解：3x(x—2)—(2—x)=3x(x-2)+(x-2)=(x-2)(3x+l)说明：因式分解时，应先观察冇没冇公因式，若没冇，看是杏能通过变形转换得到。例2.分解因式：—解：4g(l—p)3+2(p—l)2=4^(1-p)3+2(1-p)2=2(1-p)2[2g(l-p)+l]=2(1-p)2(2q一2pq+1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：2000x20012001-2

6、001x20002000精析与解答：设2000=a,则2001二a+1・•・2000x20012001-2001x20002000=a

7、l0000(6/+1)+(a+1)1-(a+1)(100006/+a)=a(a+1)x10001-a{a+1)x10001=q(g+1)x(10001—10001)=0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中200()、2001重复出现，又冇2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：兀？+bx+c(b、c为整数

8、)是兀4+6兀$+25及3兀4+4兀2+28无+5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2+Z?x+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的因式。因而也是-(3x4+4x2+28兀+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：•・•兀2+加+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4兀？+28兀+5的公因式・・・也是多项式3(*+6兀2+25)一(3x4+4x2+28x+5)的二次因式而3(兀4+6x2+25)—(3x°+4兀2+28x+5)=14(*2—2兀+