基于分形理论进行未来建筑形态设计的研究

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⑥矣摩乂審＂ＴＩＡＮＪＩＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ中国第－所现代大学響胃胃ＦＯＵＮＤＥＤＩＮ１８９５ＩＩｊＶ４ｎｉｌ＾硕±学位论文＞早计龍应用技术学科专业：■禹英避；作者姓名＿指导教师：孙济洲教授＇－細：．，謙嚇．Ｈｋ天津大学硏究生院ｊｐｉ＾２０１５＾５＾ｒｎ０ｊ一－＇＇－’細 ＊－■独创性声明＇‘■－．本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的，论文中不包含其他人己经发表研究成果，除了文中特别加臥标注和致谢么处外证或撰写过的研究成果，也不包巧为获得天津欠学或其他教巧机构的学位或一已在论文中。—书而使用过的材料与我同工作的巧志对本研究所做的任何贡献均作了明确的说明并表示了谢意。■又日期：年月止日学位论文作者签名：魚襄每签字７学位论文版权使用授权书留。本学位论文作者完全了解天津大学有关保、使巧学位论文的规定枯暢肢天津大学可＾文将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检汇编臥供蒼阅和借阅。同意学校、缩印或扫描等复制手段保存、索，并采用影印向国家有关部口或机构送交论文的复印件和磁盘。）（保密的学位论文在解密后适用本授权说明学位论文作者签名：务《咬导师签名：’签签字日期：＞／ｒ年５月ｚｆ日字日期；年又月＾曰 基于分形理论进行未来建筑形态设计的研究ResearchofFutureArtichectureTypeDesignBasedontheFractalTheory学科专业：计算机应用技术作者姓名：禹英涉指导教师：孙济洲教授天津大学计算机科学与技术学院二零一五年五月 摘要分形的概念是1975年由IBM公司的曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）定义并开始发展的，分形理论作为从复杂的现象本身直接研究到其内在所具有的规律，它可描述自然界复杂的现象。如今，几乎所有的科学领域都处于对分形的深入研究与探索之中，其中被一些建筑师在当代建筑设计中所关注并获得启发。从建筑设计来看，不同时代建筑风格的区别就是体现了各个时代设计思考的变化。当代建筑师对于分形的理解，使得他们渴望设计出分形概念的建筑作品，从而体现出自然的美，及多样性，而伴随着此类的思考分形理论成为建筑师的新思维的起点。代函数系统是分形理论之重要研究方向。本论文用最前沿的分形几何非线性数学理论为基础，运用自行创建的非线性迭代函数系统生成多个三维模型雏形提供选择。迭代函数系统应用研究部分，讨论的重点为迭代函数系统的吸引子应用于建筑设计的可能性，再进一步将其中的模型加工发展为分形建筑的设计方案，本论文工作期待能够为建筑设计提供新的设计思想和手段的探究。关键词：迭代函数系统（IFS），分形几何，自相似性，分形建筑，参数化设计，ICENDIA软件 ABSTRACTThefractalwasdefinedanddevelopedbyB.B.MandelbrotofIBMin1975.Abletodirectlystudytheinternalrulebystartingfromthecomplicatedphenomenon,fractaltheorycandescribecomplicatedphenomenoninnaturalworld.Nowadays,in-depthstudyandexplorationareconductedforfractalinalmostalldomainsofscience;somearchitectshavepaidattentiontoitincontemporaryarchitecturedesignandgainedsomeenlightenment.Fromtheperspectiveofarchitecturedesign,thedifferencesofarchitecturalstylesindifferenterasreflectthechangesofdesignthinkinginvariouseras.Duetocomprehensionaboutfractal,contemporaryarchitectsdesiretodesignarchitectureworkswithfractalconcept,soastoreflectthebeautyanddiversityofnature.Withdevelopmentofsuchthought,fractaltheoryhasbecomeastartingpointfornewthoughtofarchitects.Itsdevelopmenthasdrawnmoreandmoreattention.Basedonthelatestnonlinearmathematicaltheoryoffractalgeometry,thispapergeneratesmultiple3DmodelprototypesforselectionbyapplyingnonlinearIFS,andfurtherprocessesthemodelsintodesignschemesoffractalarchitecture.Thispaperhopestoprovideanewdesignthoughtandmeansforarchitecturedesign.KEYWORDS:IteratedFunctionSystem(IFS),FractalGeometry,Self-Similarity,FractalArchitecture,ParameterDesign,INCENDIAProgram 目录摘要...............................................................................................................................3第一章绪论.................................................................................................................11.1研究的背景.....................................................11.1.1研究的对象..................................................................................11.1.2研究的背景..................................................................................11.2研究的现状与趋势...............................................21.2.1分形建筑研究现状......................................................................21.2.2存在问题及研究趋势..................................................................51.3研究的意义与研究的目的.........................................61.3.1研究的意义..................................................................................61.3.2研究的目的..................................................................................71.4研究内容与结构.................................................71.4.1研究内容......................................................................................71.4.2论文的组织框架..........................................................................8第二章分形理论基本知识.........................................................................................92.1分形的概述.....................................................92.1.1分形的定义..................................................................................92.1.2自相似性....................................................................................102.2分形的特征....................................................112.3分形的维数....................................................122.4迭代函数系统基础知识..........................................132.4.1数学基础知识............................................................................132.4.2迭代函数系统............................................................................152.5小结..........................................................16第三章迭代函数系统理论研究...............................................................................183.1线性迭代函数系统理论研究......................................183.1.1一元仿射分形插值函数的辅助变量设置................................183.1.2一元非仿射分形插值函数的辅助变量设置............................223.2非线性迭代函数系统理论研究....................................243.2.1具有仿射性的非仿射分形插值函数的辅助变量设置............253.2.2二元非仿射分形插值函数的辅助变量设置............................293.3基于MATLAB图像分析...........................................32 3.4小结..........................................................33第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用.......................................................344.1分形插值与应用................................................344.1.1基于3-DIFS分形插值.............................................................344.1.2通过MATLAB软件生成分形插值曲面..................................364.2基于IFS的算法生成三维自然对象的近似..........................374.3应用于自然对象的近似..........................................384.4创建3D分形应用于分形艺术的发展...............................404.4.1分形的世界观与审美意识........................................................404.4.2分形艺术....................................................................................414.5小结..........................................................42第五章运用迭代函数系统分形建筑模型的建立...................................................435.1迭代函数系统应用探讨..........................................435.2构建形态雏形..................................................445.3应用于建筑立面的发展..........................................455.4分形建筑模型的深化设计........................................465.5小结..........................................................47第六章结论与展望...................................................................................................48参考文献.....................................................................................................................49附录.............................................................................................................................52致谢.............................................................................................................................56 第一章绪论第一章绪论1.1研究的背景1.1.1研究的对象本文的研究对象是迭代函数系统与分形插值技术及其应用，迭代函数系统（IFS）是分形理论的潮流研究方向，是改进了的自相似集，并且具有更为广阔的概念。用迭代函数系统描述一般分形的普遍特性：自相似性、标度不变性、分维数、精细结构等，同时它对建筑设计具有更普遍的适应性，不仅可以满足当下流行的参数化设计的各种建筑形态及表皮的创造和建筑物的自然性，同时适用于未来建筑形态设计，是对建筑模型创作最具使用价值的分形图形。1.1.2研究的背景分形理论（Fractaltheory）最早成形于1975年，在《分形——形式、机遇和维数》（Fractal:Form，Chance，andDimension，1975）一书中，IBM公司的曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）论述了分形的概念和它的特征。有关分形理论与应用的研究已深入到各个科学技术领域，社会科学、各艺术门类产生了深远的影响，并取得成为一个完整的理论体系。曼德布罗特集MandelbrotSet1 第一章绪论在历史上，建筑学和数学尤其是几何的进步始终是密切相关的，随着现代数学和计算机技术的发展，人们逐渐感到用传统的几何学已不能充分描述自然界的对象，如山形，海岸线，河川，树木，云团，闪电等。对几何的认识水平直接影响人们对建筑形式和建筑空间的创造能力以及对建筑的审美认知状况，每一次几何学领域的变革都促进了建筑学的发展。从建筑设计来看，不同时代建筑风格的区别就是体现了各个时代设计思考的变化。当代建筑师对于分形的理解，使得他们渴望设计出分形概念的建筑作品，从而体现出自然的美及其多样性，而伴随着此类的思考，分形理论成为建筑师的新思维的起点。从建筑学角度，对于空间的定义可以理解为‘决定边界的工作’。在城市里，社区呈现为碎片化与差异化，需要流动性和多样性，建筑物的形态使得人们很难区别它的边界，通过流动的组织系统模糊整体与个体的区分。也就是说，它们的形态是复杂而贴近自然的。查尔斯,詹克斯(CharlesJencks)提出的“建筑新范式”（NewParadigminArchitecture），他介绍了在建筑设计比较分析复杂性。罗伯特文丘里RobertVentri认为复杂性是单纯化的相反概念，也就是说复杂性是附着层级丰富的建筑特性。参数化建筑设计的普及，设计师可以在更加量化的层面上对分形理论加以引入和选择。分形理论与建筑设计的结合冲破建筑美学的局限，进而影响并改变人类对自然、对都市的认知方式及习惯。特别是对现代城市建设与发展提出了全新可能性的思考模式。本研究在推导一套迭代函数系统的基础上，运用该迭代函数系统生成分形建筑模型的方案。1.2研究的现状与趋势1.2.1分形建筑研究现状1980年建筑师彼得·艾森曼（PeterEisenman）首度提出“分形比例”的建筑概念，并将其哲学地解释为一种过程：“这是三个破坏性的概念：非连续对应形而上学，初现对应迭代，自相似对应审美表征。”其作品“十一号住宅”（House11a）在1978年威尼斯的卡那里吉奥（Cannaregi）设计研讨会上成为焦点。在之后的20年里，分形建筑不断出现在前卫设计师的工作室作品中，在这期间既有狂热的追随者，也有言辞激烈的批评声，比如在《希梅尔布劳简史》（PostRockReporter2 第一章绪论Rock：AShortHistoryofCoopHimmelblau）中，索科（Sorkin）声称：“混沌恐怕被滥用了，尤其在建筑学方面刻意的借用。”批评声和研究的难度使分形建筑曾一度沉寂，但随着非线性科学和计算机的进一步发展，分形几何与建筑设计的交叉研究进入新时期。这一阶段的特征是建筑师更全面的理解分形几何特征，特别是它的数学含义。建筑师对分形几何的运用从早先在形式设计的探讨，将其扩展到建筑与环境分析评价这一更具有人居环境生态意义的领域。1995年建筑评论家查尔斯·詹克斯（CharlesJencks）先后发表了《非线性建筑——新科学=新建筑》（NonlinearArchitecture——NewScience=NewArchitecture）以及《跃进宇宙中的建筑》（theArchitectureofJumpingUniverse）提出“宇宙建筑”的概念，号召建筑界创造全新的、宇宙模式的、分形美学范式。同年，数学家兼物理学家塞林格勒斯（Nikos.A.Salingaros）发表了《一个物理学家眼里的建筑法则》（TheLawsofArchitectureFromaPhysicist’sPerspective）指出：“新建筑应当脱离形式设计的表面研究转而遵循新科学规律，城市和建筑应当像生物体一样遵从生长法则，新的建筑不是单纯依靠模仿自然的形式，而是遵循其自组织规律，这样的建筑才是具有历史价值的伟大建筑。”卡尔·巴维尔（CarlBovill）在《分形几何学在建筑与设计的应用》（FractalGeometryinArchitectureandDesign）首次引用分形几何中的“盒维数”对建筑细部进行量化评价与分析，并以此作为建筑细节设计的量化参考。他认为人们观察建筑的距离分为几个层级，建筑应为不同层级的观赏者提供相应的细节，如果建筑的维数变化稳定，则表示该建筑各个层级的精细度是连续的，而且维数越高，建筑细节越丰富。在设计方法中，作者提出应用分形几何元素设计建筑立面的图案以期达到某种韵律。在与环境相融合方面，作者建议可将当地的自然山川地貌先进行人工模拟，得出其分形维度，再将此维度运用到建筑设计中，从而和当地自然环境相统一。3 第一章绪论汉城龙山国际商务区Velo塔(VeloTowers)图片来源：中国建筑报道2006年美国数学家塞林格勒斯（Nikos.A.Salingaros）在《建筑理论》（ATheoryofArchitecture）在对古今建筑比较的过程中，提出应从分形几何出发制定建筑设计的基本法则，并运用数学分析法得出一套关于建筑形式的数学理论，他制定出建筑尺度层级的定律，提出相邻尺度的比例e=2.718，得出丰富连续的尺度层级是传统建筑较现代建筑更有活力的原因。罗恩·伊格莱斯（RonEglash）1999年出版了《非洲分形》（AfricanFractal），通过其本人在大量非洲原住民部落的实地考察，得出分形法则作为一种无意识的自然法则深刻存在于当地居民的传统建筑与文化中。分形几何与建筑设计的深度结合是在本世纪之初计算机图形图像技术及系统模拟技术的支撑下开展起来的。由于分形几何抽象的数学原理使得早先的设计师很难形象地把握其生动的形式规律，但伴随着这些抽象的数学模型逐步可视化，参数化建筑设计的普及，设计师可以在更加量化的层面上对分形几何加以引入和选择。2006年美国数学家塞林格勒斯（Nikos.A.Salingaros）在《建筑理论》（ATheoryofArchitecture）在对古今建筑比较的过程中，提出应从分形几何的规律特4 第一章绪论点出发制定建筑设计的基本法则，并运用数学分析法得出一套关于建筑形式与环境关系的评价体系，他制定出建筑尺度层级的定律，提出相邻尺度的比例e=2.718，得出丰富连续的尺度层级是传统建筑较现代建筑更有活力的原因。2003年，塞西尔•巴尔蒙德（CecilBalmond）研究探讨算法应用于建筑表皮生成。非周期性分形系统“阿曼拼贴（”AmmannTiling）由三个不同的基本形构成。这种非周期性拼贴可以在计算机辅助设计的平台上由分形算法的程序模拟生成。在V&A博物馆的螺旋体设计中，阿曼拼贴被作为建筑的立面装饰图案。它具有的迭代特性以及内在模数，长达600m墙面上的拼贴图案展现了建筑体量按照分形规律螺旋生长的能量。2006年肯·哈格德(KenHaggard),克里斯汀·焦沃伊（ChristineGyovai）和波莉·库珀（PollyCooper）出版了《可持续的分形建筑设计》（FractalArchitectureDesignforSustainability）提到了用可持续设计理念践行分形建筑与环境的关系对话。2012年詹姆斯·哈里斯（JamesHarris）《分形建筑——有机设计观的理论与实践》（FractalArchitecture:OrganicDesignPhilosophyinTheoryandPractice）是最新的通过借用计算机建模手段对高层建筑形体以及立面细部尺度层级进行分形设计及模拟的专著。书中系统阐释了自然、分形几何、人、建筑的关系。指出分形几何是人与自然感应的数学模式，分形几何的建筑化实际是人将此感应模式的建筑表达。文中列举了古往今来建筑中对分形几何运用的蛛丝马迹，并以高层建筑为主要研究类型，通过编程模拟并解析建筑的分形生长过程。同时还演示了借助计算机图形软件，和分形算法编程，任何经典现代建筑都可以脱去单调的欧式几何外衣，附着层级丰富的分形表皮。1.2.2存在问题及研究趋势从研究现状看，分形理论作为颠覆传统欧式经典几何的新兴理论与建筑设计的结合处于浅层面理解研究和实践的阶段，对经典建筑的再评价研究比较牵强，在建筑理论的新领域探索方面中缺乏全面系统的研究与理论，没有完整的学术学说、法则规律。从分形几何的特征看，首先在生成和发展机制上，其自身特点为初始条件复杂，然而迭代公式简单，最终形成的非线性的复杂的外观，但是其层级关系明确，易于识别和规律性的把握。复杂性美学在人们的认识过程中需要找到复杂与可辨识的平衡点，分形建筑为我们提供了这方面的可能性。尚未建立以分形几何为基础之一的建筑美学，习惯于经典几何体系的建筑设计如何适应新型具有自然美学特征的分形几何，不应只是停留在静态的浅层次形5 第一章绪论式阶段，而应该是系统且动态的全方位二者的结合。但是目前从世界范围，这种系统性的研究并未开展，设计师仍局限于基于现成分形数学公式及计算机程序对建筑形式的简单静态生成。在国内虽然也开始了这方面的理论研究，但无论是计算机建筑分形图像的生成还是实际的建筑实践都基本未曾展开。分形建筑应该成为具有理论和实践双重意义的研究课题，今后的研究将在如下方面开展：首先，分形建筑的研究应基于分形理论、计算机图形技术与建筑设计三方面的基础研究，由于传统的建筑学教育与计算机技术以及数学的脱离使得这一研究的技术壁垒较高，所以需在现状基础上寻找三方面领域可行的结合点，进而进行三个领域的深层融合。其次，在上述三方的结合过程中，做好进一步涉及更多相关科学领域的充分准备。为分形几何与其他研究领域的二次研究成果在建筑学的介入做好准备。再次，分形建筑软件开发将成为理论到实际工程的转化工具。最后，随着上述过程的逐步实现，从分形建筑到分形城市，实现自然生态与人类生存空间的有机和谐共生。本研究是集建筑美学、分形科学、计算机系统科学于一体的综合交叉课题，对于建筑设计领域的全面发展具有重要价值及前沿性。它是科学体系由“经典理论”向“复杂性理论”转型的直接表现，是现代建筑自然生态、多元共生、广泛参与原则的深度发展。其基础理论及技术应用方面的研究将为建筑设计理论开拓全新视野，对建筑设计实践提供新的支撑。本研究作为上述三方面学科的聚焦，为突破现代建筑的发展带来新的理论和解决办法。1.3研究的意义与研究的目的1.3.1研究的意义本研究的科学理论与技术应用的研究意义重大，在将科学理论转化为实践应用方面具有重要的科学意义，及推动作用。打破近现代以来以传统欧式整数维几何为基础的建筑形态的局限，探索建立以分形为基本特征的大自然分形几何建筑设计方法。全面、系统性的分形建筑将进一步推进建筑设计、参数化设计与计算机技术的结合，借助成图形的不可预知性，突破人脑空间想象极限，给建筑师的创作带来新的创新可能性。未来的建筑发展必将是多元化的，是基于多学科、多领域的交叉研究，目前的参数化建筑将计算机编程手段引入传统建筑设计过程，已经呈现出超越传统及现代建筑的各种复杂形态，其所呈现的结果得到普遍认同。6 第一章绪论分形几何的建筑设计就是在此基础上进一步引入系统的分形几何原理，使建筑设计在分形几何非线性数学理论基础上，提供最新的设计手段及独特性的设计结果。分形几何被誉为大自然生态的几何，体现自然万物基本生成规律。它与建筑设计的结合将使这一新兴的几何理论冲破建筑学自身的局限，更广泛地融入科学技术，进而影响并改变人类对建筑环境的认知方式及其自身的生活习惯。对人类社会的发展将产生深远影响。1.3.2研究的目的1、本文希望通过对分形理论及应用的研究，探讨其运用于建筑设计的关键思路，以期对该方向的建筑设计指明方向。2、建立与分形理论，找出分形理论与建筑设计的结合点，创建一整套关于迭代函数系统（概念，设计原理等），参数化建模探讨所研究理论的可实施性，创造可应用于实际操作的建筑雏形。3、完善分形建筑的相关理论，提出实施性强的分形建筑创作手法，建立良好的计算机平台。1.4研究内容与结构1.4.1研究内容第一，研究分形理论并将其与建筑模型设计结合，创建一种迭代函数系统。将迭代函数系统与分形插值技术引入建筑形态设计，寻找二者的结合点，从而给出一套关于迭代函数系统在应用到建筑模型设计的研究方案。这是本文的理论研究部分，也是最为关键的创意部分。第二，深入研究分形建筑参数化及计算机系统建模与模拟理论，找出其关键技术和方法（相关参数化设计建模软件，编程语言，参数设置与调节，渲染技术等），用其进行分形建筑生成的模拟研究。这是本文的技术部分。第三，在以计算机系统建模为技术支持的分形建筑模拟研究基础上，总结分形建筑及理论在设计过程中可能遇到的技术要点和难点，实践经验，可持续发展的，符合非线性复杂美学的分形建筑设计之路。为支持文中提出的的理论观点，作者利用参数化方法建立了若干基础模型用以实验论证，通过模型参数的调节，改变模型的形体和细节，结合基本的建筑原理判断其是否成立，是否能合理地应用于实际中的建筑设计。7 第一章绪论1.4.2论文的组织框架论题提出论题提出（第一章）分形理论分形建筑分形概念与理论研究（第二章）分形分形维数迭代函数系统理论研究概念与原理与经典分形的关系相关概念的阐释提出问题与解答迭代函数系统应用研究（第三章）分形应用迭代函数系统的构建迭代函数系统的应用应用研究应用于自应用于分应用思然对象形艺术路研究相关理论的研究总结应用研究迭代函数系统应用于建筑设计的研究方案（第四章）应用实例基础模型研究应用实例论证立面模型表皮模型立面表皮应用实例应用实例分析结语展望与结语8 第二章分形理论基本知识第二章分形理论基本知识今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。——约翰·惠勒，美国物理学家2.1分形的概述分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，促使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅能让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。本节主要阐释分形几何的基本概念，并介绍其对建筑设计有指导意义的“自相似性”和“分形”的特征。2.1.1分形的定义分形(fractal)，是根据拉丁语“fractus”创造出来的新词，意思是“不规则的或者断裂的”。1890年，意大利数学家皮亚诺（PeanoG)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。这一时期数学家从几何学研究角度创造出了许多分形图形，如：集合论创始人德国数学家康托尔提出的康托尔粉尘集、意大利数学家皮亚诺创造出充满空间的曲线——皮亚诺曲线、瑞典数学家科赫创造的雪花曲线、波兰数学家谢尔宾斯基创造的谢氏垫片、谢氏海绵等。“分形”（fractal）是由曼德布罗特在研究英国海岸线的长度问题时提出的概念，曼德布伦特在《科学》杂志发表论文“英国的海岸线到底有多长？”。首先，这个问题涉及到如何丈量，在一张百万分之一地图上量，在若干张万分之一地图上量再相加，到现场用米尺一段一段量再加起来，在现场用厘米为单位“精细”地去量，结果都不一样。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。其次，什么是英国的海岸线（长度），它不像万里长城，绵延万里，只要不怕费时费事，总可以量出来。但海岸线不同，百万分之一地图上是曲曲折折的，万分9 第二章分形理论基本知识之一地图还是曲曲折折的，到现场观察，百米的海岸线还是曲曲折折的，甚至蹲下来看眼前的海岸线（水与岸的交界线）还是曲折的。即海岸线在不同的尺度下具有相似性。曼德布伦特给出分形的定义：分形是局部与整体在某种意义下存在相似性的形状。强调分形物体基本特征：(1)每点处有无限的细节；对于分形物体的放大，可以连续地看到如同在原图中出现的更多的细节。(2)物体整体与局部特性之间的“自相似性”，或者说唯有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。2.1.2自相似性自相似性的概念从数学的角度来说，自相似性与极限是紧密联系在一起的。分形为极限问题的解决提供了新的领域，让我们能从一个不断发展的，全新的角度去理解极限的概念。一方面分形可以利用反馈过程让极限可视化，另一方面，一些分形图形以其完美的形式来展示自相似性。简单来说，自相似是指整个部分与其内部分有着相似性，也就是说，全体与局部，局部与它的局部互相相似的。如图2-1,2-2,2-3,2-4所示即为典型的自相似集。图2-1康托尔集图图片来源：作者自绘图2-2皮亚诺曲线构造图图片来源：作者自绘图2-3科赫曲线构造图图片来源：作者自绘10 第二章分形理论基本知识图2-4谢宾斯基三角构造图图片来源：作者自绘对于类似山脉、枝叶、云朵等自然界普遍存在的，不规则、粗糙的(自然)景物，欧氏几何是不能真实地模拟这些物体。但却可以使用分形几何来真实地描述。图2-5海岸线图2-6树叶枝桠图片来源：http://image.baidu.com图片来源：www.google.com图2-7闪电的形态图2-8分形生成的山脉图片来源：http://image.baidu.com图片来源：http://image.baidu.com2.2分形的特征目前学术界倾向于将分形看作是具有某些性质的集合，广为学术界接受的集合描述来自英国数学家肯尼斯·法尔科内（Falconer.K）：11 第二章分形理论基本知识称集合F为分形，则其具备如下的典型特征：1.它具有精细的结构，即在任意小的尺度下都有更小的细节；2.它是如此2的不规则，以至于无论从整体或局部来看，都无法用微积分或传统的几何语言来描述；3.它本身的结构通常在大小尺度上有着某种自相似的性质；4.它的分形维数大于其拓扑维数；5.在许多情况下，它可以以非常简单的方式定义，可能由迭代方法产生。6.它通常具有“自然”的外貌。2.3分形的维数一个几何对象的维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数：一维的线、二维的面、三维的立体。分形几何的空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。分形物体的细节变化可以用分形维数D来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。有较大锯齿形的物体分形维数较大。自相似维数主要用来描述有规分形，尤其对于具备严格自相似性的理想数学模型较为适用，对无规分形则难以描述，相对而言其应用具有一定的局限性。对自相似维数描述如下：设定D为自相似维数，对于给定的某个有规分形，其缩减因子s与该对象在缩减后划分成的子块数目a之间存在关系：a=1/sD，或者等价于D=loga/(log1/s)按照该算法，参照表2-1对线段、正方形及立方体进行自相似维数计算可知：线段的自相似维数为D=logk/(log1/k)=1，正方形的自相似维数为D=logk2/(log1/k)=2，立方体的自相似维数为D=logk3/(log1/k)=3，对于科赫曲线，其自相似维数为D=log4k/(log1/3k)=log4/log3≈1.2619。很明显，这种算法同样适用于欧氏几何，可以看到科赫曲线的维数是分数的，充分说明它是一个介于一维和二维之间的几何对象，计算其它经典分形图案的自相似维数，所得到的结果见表2-2。通过对谢宾斯基三角与谢宾斯基地毯的维数比较，我们可以轻松的得出结论，谢宾斯基地毯比谢宾斯基三角具有更强的空间占有能力。12 第二章分形理论基本知识表2-1线段、正方形、立方体和科赫曲线子块数目a和缩减因子s之间的关系对象子块数目a缩减因子s对象子块数目a缩减因子s线段31/3立方体27=331/3线段61/6立方体216=631/6线段k1/k立方体k31/k正方形9=321/3科赫曲线41/3正方形36=621/6科赫曲线161/9正方形k21/k科赫曲线4k1/3k表2-2其他经典分形的自相似维数子块数目物体尺度s维数D缩放1/2（3a谢宾斯基三Log3/log21/2k3k角≈1.5850缩放1/3（8谢宾斯基地Log8/log31/3k8k毯≈1.8928缩放1/3（2log2/log3康托尔集1/3k2k≈0.6309图2-9谢宾斯基三角、谢宾斯基地毯、康托尔集及其机构子块图片来源：《混沌与分形》2.4迭代函数系统基础知识2.4.1数学基础知识迭代函数系统（IFS）是被M.M.Bansley创始并进行研究。当前作为分形理论研究的基本方向，处于不断深入研究的发展中。本节主张的基于迭代函数系统建模，首先要论述数学的基础定义与定理。13 第二章分形理论基本知识--Hausdorff距离X,d：距离空间!A,BX!现在定义A,B之间的Hausdorff距离为hABdABdBA,,,maxsupinf(,),supinf(,)yBxyyAxyxAxBെ压缩映射设X,d为距离空间，一个变换f:XX称为压缩映射，如果存在着一个s且01s，使得dfxfy((),())sdxy(,)对x,yX成立，则s称为的压缩因子，此时也称f为Lipschitz的扩展到Hausdorff距离空间，则有以下定理：设wX:X为一距离空间X,d上的压缩映射，并且压缩因子s为，则在((),())HXhd上定义wHX:()HX()为wB()wxxB()|则w对BHX()也是一个压缩映射，并且压缩因子也为sെIFS与IFS的吸引子度量空间X,d与定义在其上的一有限的压缩映射族wXXi:(1,2,N)组成一双曲（hyperbolic）迭代函数系统，用IFS表示它，i记为X;:wXXii,1,2,N；如果wi的压缩比为si，则称ssmaxi,iN1,2,为此IFS的压缩比。[定理]设X;:wXXii,1,2,N为一双曲IFS，有压缩因子s，则在N((),())HXhd上定义的WHX:()HX()，WB()wBBHXi(),()i1对所有BHX()也是一个压缩映射，并有压缩因子为s，即hWBWC((),())shBC(,)对所有的B,(CHX)都成立，并且在HX()上必存在唯一不动点A，即满足14 第二章分形理论基本知识NAWA()wAi()i1并且A可由下式给出：对∀BHX()有nAlimWB()nA即称为该IFS的吸引子[拼贴定理]设X,d为一完备距离空间，令LHX()且给定0，如果可以找到一个压缩因子为ss(01)的IFSXww;,,12wN使得下式成立：NhL(,wLi())i1h为Hausdorff距离，则有hLA(,)1s其中A为该IFS的吸引子，N1hLA(,)(1)(,shLwLi())i1在迭代函数系统IFS中参数的连续微小的变化，将使它的吸引子的形状也有连续微小的变化。这点说明在生成分形对象的编码过程中所要求的不同的原图“拷贝”，就可以在吸引子间进行平滑的插值。2.4.2迭代函数系统(a)迭代——简单的自然及几何形态：分形的组成部分是整个物体的收缩形式。从一初始形状开始，对整个形体应用缩放参数s来构造物体的子部件，对子部件再用相同的缩放参数s。若对收缩部分使用随机变量，则分形称为统计自相似。如模拟树、灌木和其它植物。(b)随机迭代（仿射）——复杂自然形态：分形的组成部分由不同坐标方向上的不同缩放参数sx、sy、sz来形成。通过引进随机变量，可获得统计自仿射分形。如闪电、水和云等。(c)非线性变换——复杂几何形态：15 第二章分形理论基本知识包括自平方分形(美丽图案)，如Mandelbrot集，它由在复数空间中使用平方函数形成。迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需的目标或结果。每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。这种情况下的反复迭代系统被称作函数迭代系统（IFS，iteratedfunctionsystems），它可以产生一组有规律的图像序列，这个图像序列将收敛于某个“吸引子”（最终几何图形），所谓“吸引子”就是函数迭代系统所生成的极限状态，它完全由函数迭代系统的运行法则F(X)决定，而与最初输入的图像无关。事实上，函数迭代系统生成的吸引子就是分形结构，也就是说数学上的分形是极限状态下的几何图案。2.5小结分形最大的魅力源自它反映了自然界生态真实存在的生成规律，也是人类自发感知自然组织方式的直接启发对象。分形几何与传统欧式几何的特征比较，通过调整变换中的一些参数，可以连续地控制IFS的吸引子。利用分形图演变具有渐变性的特点，设计渐变规律，对图形向目标图的渐变进行引导。利用已有的二维分形理论，直接到三维的分形拓展，另外还可以以二16 第二章分形理论基本知识维分形图形为基础，再进行随机形状的变换，利用插值技术将模型进行平滑过渡、无缝拼接。17 第三章迭代函数系统理论研究第三章迭代函数系统理论研究我们面对一个问题“分形插值函数的图像为置于给定的长方形区域内，辅助变量01s要满足的必要充分条件是什么呢？”（文献[9]中的127页）.我们提出了为了针对离散数据一元与二元分形插值函数的图像置于给定的区域内，辅助变量要满足的充分条件。我们也给出了一些分形插值函数图像的例子。3.1线性迭代函数系统理论研究在这节中，我们提出了为了针对二维离散数据一元仿射分形插值函数和非仿射分形插值函数图像置于给定的长方形区域内要满足的充分条件。3.1.1一元仿射分形插值函数的辅助变量设置令x01,,,xxN为Ixx0,N的划分，并且x01xxN。令f,,,ff为给定的实数。01N令iN1,2,,,定义仿射变换W：ixxai0diWiyycsiiei.这里实数acde,,,由辅助变量s和边界条件iiiiix01xxiNxiWW,iiffff01iNi.于是可以得到。令KIR.N定义集合的映射WHK:HK通过WEWEEHKi,.i1令ab,为两个实数并且满足条件aff,,,fb。01N在这种情况下，为了给定的迭代函数系统的吸引子置于给定的长方形区域18 第三章迭代函数系统理论研究Iab,，我们要找到一个垂直比例因子si要满足的充分条件。[定理1]minmax设iN1,2,,，si1,siissi,则WIa,bIa,b.(其中minafii11affbfbii,smax,,,ibfbffafa00NNmaxbfbfii11fafaii)smin,,,.ibfbffafaNN00(证明)由边界条件，我们得到:xxii1aixxN0xxxxNi10idixxN0ffffii10NcsiixxxxNN00xfxfxfxfNi10iN00NesiixxxxNN00接下来，我们考虑Lxaxdiii和Miixycxsye,ii.Lxii01xLx,iNxi,因为Li是一个增加函数,LxxiN:,01xxn,i.NLxxxxiN00,,xxN所以i1即，我们取将WIabi,向x-axis投影到xii1,x,且将WIab,向x-axis投影到x0,xN.，并注意到Mixy,.我们要看看，由映射Mi长方形的顶点x00,,,,(,)axbxaxbNN,,的映像19 第三章迭代函数系统理论研究若x*0xx,N,则Mixyayb*,cxsiii*yeayb。若si0，则sycxeiii*是一个增加函数，否则它是一个减少函数。于是Mixy,由参数y是单调函数。即，对任意固定的x*0xx,N,并且yab,，则MiiixaMxyMxb***,,,或者MiiixaMxyMxb***,,,.因此Wi是仿射变换,可设将平行的直线映射到平行的直线。即，Wi:将Iab,的边界落到边界，将内部落到内部，将顶点落到顶点。所以,MiixaMxb00,,或MiixaMxb00,,,MiNxaMxb,,iN或MiNxaMxb,,iN.且Miixacxsaefsfa00,iii1i0Miixbcxsbefsfb00,iii1i0MiNxac,iNixsaefsfaiiiNMiNxbc,iNixsbefsfbiiiN.所以minafii11affbfbii,smax,,,ibfbffafa00NNmaxbfbfii11fafaiismin,,,.ibfbffafaNN00minmax若siissi,则aMxaMxbMxaMxbbiii00,,,,N,,iN,即WIab,Iabi,,1,2,,N.i20 第三章迭代函数系统理论研究由W的定义，我们得到WIab,,Iab.[定理2]设iN1,2,,s由[定理1]已知参数,i则WWIab,,Iabnm(其中mn,1,2,,N)(证明)记Amax,MxaMxbMxaMxbi00,,i,,iN,,iNBmin,MxaMxbMxaMxbi00,,i,,iN,,iN.C具有顶点xmmm11,,,,,,,AxBxAxBm成为长方形。这时,CWIab,.m由[定理1],我们可知CIab,.又由[定理1],WCCnn,1,2,,N.即,WCCIab,n.所以，我们得到WWIab,,Iab.nm[定理3]设iN1,2,,,和由si[定理1]已介绍的参数.这时，仿射分形插值函数的图像属于Iab,.(证明)由边界条件,NWIab,,WIabiNxf00,,xf11,,,xf,N.i1n且,WIab,x,f,x,f,,x,f,nN1,2,,0011NNn由[定理2]我们得到nN;WIabIab,,。n即,limWIa,b包含仿射分形插值函数的图像。nhd21 第三章迭代函数系统理论研究3.1.2一元非仿射分形插值函数的辅助变量设置在这里，我们构建了一类非仿射迭代函数系统，并且提出了由这个迭代函数系统的吸引子组成一元非仿射分形插值函数的图像，为了置于给定的长方形区域，要满足的一个充分条件。△构建迭代函数系统设I[0,1]并且0xx...xx1为的划分。I01NN1令x00,fx,11,,...,fxNN,f为给定的数据,且N为大于1的正整数，设KIRLII:设Iiiixx1,,且定义ii由Lxaxd().iii这里，常数adnii,1,2,,N满足LIIii.即，取得xxxxxxii1Ni10iaxiixi10,dxii1xxxxN0N0因此N2,令iN1,2,,,01ai,并且Li是一个压缩拓扑同构映射具有压缩因子maxaii:1,2,,N.通过Miixycgxsye,iii，设定义映射Mi:KRi1,2,,N这里,gIRii:1,2,,N为满足以下公式的Lipchitz连续函数：gxiNgi11,gxgi0i00.(其中常数c和e被定义为垂直比例因子s和边界条件iiiMiixf00,fMxf1,iN,Nfi.即,ffffii10Ncsiifiifs10iNffgxiNgxi00gxiNgxigxfgxfiNi10iigxfgxfiN00iNesiigxiNgxi00gxiNgxifsfi,1,2,,N.ii1022 第三章迭代函数系统理论研究xLxi由Wxi,,yK,定义为WKKi:yMxyi,这时,IFSisKWW;,,,12WN.其中Wi,1,2,,N为具有特殊的形式ixaxidiWiyciigxsiyei和边界条件xx01iNxxiWWiii,,1,2,,N.ffff01iNi由文献[2],IFSKWW,,,,12WN具有唯一的吸引子GG,并且为满足fxfiii,1,2,,N的连续函数f:IR的图像。[定理4]设ab,为满足affbaff,,,,,fb的实数.01NN21记为cc1miniimingxx,cc2maxiimaxgxx,iN1,2,,x[0,1]iN1,2,,x[0,1]s1minmax若i,且sssiii,则GIacbc[,].12(证明)因此gxxi,我们得到事cgiixmin[0,1]xxcg0,iixmax[0,1]xx0实,若mincgxiicxi0,对于cgxcxiii|0x01,cgxcxiii|0x的矛盾。x[0,1]所以,.cc0,012令iN1,2,,,因此gxi()为满足ggii00,11的连续函数,得到cxciimingxixcgxiicxciimaxgxix.x0,1x0,1即,x0,1;cxcii12cgxicxci0MK0:由于Miixycxsye,ii，定义为映射i00xLxi仿射变换Wi,1,2,,NiyMx0yi,23 第三章迭代函数系统理论研究xLxi且Wi,1,2,,N,iyMxyi,因此，因子xx0,1,满足以下公式0N0aaxxiiii1,0ddxiii1,0ffii10ffNcsfiiifi10sifNfcixxxxNN000xfNi10xfixfxfN00Nesfsfe.iii10iixxxxNN00minmax由于[定理1],si1时,若sssiii,N00则得到WIab,WIabi,Iab,.i10令iN1,2,,,因此WIabIabii,,,得到WIabii,Iacbc12,.0所以,WIabIab,,若时,由于[定理2]00WWIabIabji,,,得到WWIabji,Iacbc12,.i即，由于[定理3]limWIabIacbc,12,.i所以，在上面构建的由非仿射迭代函数系统的吸引子组成非仿射分形插值函minmax数图像属于给定的长方形区域Iacbc12,,sssiii1,si时.通过这个定理，我们给出了为了非仿射分形插值函数图像置于给定的长方形区域，垂直比例因子要满足的一个充分条件。3.2非线性迭代函数系统理论研究在这里，我们构建了一类反映给定数据的迭代函数系统，也给出了由这个迭代函数系统的吸引子组成的二元分形插值函数图像置于给定区域的一个充分条件。24 第三章迭代函数系统理论研究3.2.1具有仿射性的非仿射分形插值函数的辅助变量设置△构建迭代函数系统设01xxx,01M01yyy,01Nxiji,yzi,j0,1,2,,Mj,0,1,2,,N为给定的数据!定义为wxij:0,10,1i1,xiyji,yj由xaijxbijwijycijydij(1)1zexfygx2y2szkijijijijij2iM1,2,,,jN1,2,,.假定wi1,2,,Mj,1,2,,N为满足边界条件ijx0xi1x0xi1wijy0yj1,wijyNyjzzzz0i1,j10,Ni1,j(2)xxxxMiMiwijy0yj,wijyNyjzzzzM,0ijM,Nij这时,变换wiij1,2,,Mj,1,2,,N由9个实数abcdefgskij,,,,,,,,ijijijijijijijij给出,并且这些实数为满足8个线性方程式25 第三章迭代函数系统理论研究axbxij0iji1cydyij0ijj1122exfygxyszkzij0ij0ij00ij0,0iji1,j12cydyijNijjexfy1gx2y2szkz.ij0ijNij0Nij0,Niji1,j2axbxijMiji122exfygxyszkzijMij0ijM0ijM,0iji,j12122exfygxyszkzijMijNijMNijM,Niji,j2我们考虑到wij将对于zz-axis的平行的直线直接到-axis的平行的直线,我们在wij当中取得一个自由参数sij.这时,我们注意到aij,bij,cij,dij,eij,fij,gij,sij,kij由sij和给定的数据点xyzxyz000,,,,,,,010,1,,xyz0NN0,,xyz101,,,,,,,,,,0xyz111,1xyz1NN1,,xyzM,,,,,,,,,0,MMM0xyz1,1xyzMNM,N结果,我们构建了一类迭代函数系统.[定理5]若sij1iM1,2,,,jN1,2,,,则迭代函数系统(1)存在唯一的不动点122(证明)在上Fx,y,zexfygxyszkijijijijijij2122ijx,+yexfyijijgxykijij为二元Lipchitz连续函数2事实上,由于二元函数的有限差分公式26 第三章迭代函数系统理论研究1ijxy11,,ijxy22eijgijxx122221fgyyijij1222211()egxx()fgyy.ijij12ijij1222xx,yy(其中,1212)所以,若s1（iM1,2,,,j1,2,,N）,则由文献[1],迭代函数系统ijMNWAWA存在唯一的不动点.iji1j1(其中A为0,10,1R的子集)[定理6]假定迭代函数系统(1)为满足边界条件(2)设s1iM1,2,,,jN1,2,,,ijminmax若sssijijiji1,2,,Mj,1,2,,N,则迭代函数线系统(1)的吸引子插值成给定的数据xiii,,yzij0,1,2,,,0,1,2,,MjN为非仿射分形插值函数图像属于0,10,1ab,。(其中azzzz,,,b,0,00,NMM,0,NazbiM1,2,,1,jN1,2,,1ijbzbzbzbzmaxi1,j1i1,jij,1ij,smin,,,,ijbzbzbzbz0,00,NM,0M,Nzazazazaij1,1ij1,ij,1ij,,,,zazazaza0,00,NMM,0,Nbzbzbzbzminij1,1ij1,ij,1ij,smax,,,,ijazazazaz0,00,NMM,0,Nazazazazij1,1ij1,ij,1ij,,,,bzbzbzbz0,00,NMM,0,N(证明)由于[theorem5],迭代函数系统(1)为满足边界条件(2)成为一个特定的函27 第三章迭代函数系统理论研究数图像,也伴随于这组数据xiii,yzi,j0,1,2,,Mj,0,1,2,,N的二元分形插值函数的图像由于W的定义,Pab,时,我们得到ijijijWPij0,10,1xi111,xiyyj,jPP,2.即,MNijij.WPij0,10,10,10,1minP12,maxPij11ij,ij,所以,无论二元分形插值函数的图像属于0,10,1a,b还是不属于它,有关Fijx,y,z.从8个数据点x00,,,yaxyaxyaxyaMN,,,,,,00M,,,Nx00,,,ybxybxybxybMN,,,,,,00M,,N我们注意到F的值ij通过映射F将立方体所具有的8个数据点进行映射ij这时,在8个数据点中F具有最大值和最小值ij设s为满足以下的公式ijaFxyabij00,,aFxyabijM,,0aFxyabij0,,NaFxyabijM,,NaFxybbij00,,aFxybbijM,,0aFxybbij0,,NaFxybbijM,,N即,为满足以下的公式28 第三章迭代函数系统理论研究122aexfygxysakbij00ijij00ijij2122aexfygxysakbijMij00ijMijij2122aexfygxysakbij00ijNijNijij2122aexfygxysakbijMijNijMNijij2122aexfygxysbkbij00ijij00ijij2122aexfygxysbkbijMij0ijM0ijij2122aexfygxysbkbij00ijNijNijij2122aexfygxysbkbijMijNijMNijij2.122注意到zx1y,且zx2y,xy,0,1.2在zz12,中,对于任意一个固定,那么别的参数都成为增加函数于是,我们只注意到x1,y1.12yz1,xzx11220z,z11212xz1,yzy11220,1zz12122gxygxy即,将ijij换成ijij时不等式结果相同2所以,当01x,01y时,我们得到定理的结果3.2.2二元非仿射分形插值函数的辅助变量设置△构建迭代函数系统设IJ[0,1],DIJ29 第三章迭代函数系统理论研究IiiijjjixxJ11,,yy,,DIJijij1,2,,,Mj1,2,,N。令iM1,2,,,注意到线性映射Aiixxxxxii11,得到Aii0,1xAx1ii。Byyyyyjjjj11,1j,2,,N也注意到线性映射,也得到Byjj0,1,1Byjj且Bj:IIj。令iM1,2,,,j1,2,,N,通过Txyz,,ijAijixB,y,szjijx,y定义为TD:Dijij其中sij为给定的常数,且ijx,y在D上定义为二元Lipchitz连续涵数我们注意到迭代函数线系统IFSDT,:i1,2,,,Mj1,2,,Nij且映射TsTsij。1iM1jN(其中,TSTx,,:yzx,,yzS.)ijij由于Mijxyzsz,,ijijxy,定义为MDij:,iM1,2,,,jN1,2,,为满足以下的公式Mxyzzij000,,i1,j1MijxyzM,,0,M0,zij1Mxyzij00,,N,1Nzi,jMijxyzM,,NMN,zij.(其中zij由给定的数据点xyij,为数值)2这时,跟同类,当s1时,迭代函数系统具有唯一的吸引子,并且这个吸ij引子也包含给定的数据点xiji,,yzij,1,2,,,Mj1,2,,N。在DIJ上,ijx,y为满足以下边界条件30 第三章迭代函数系统理论研究ijxyhxByshxyM,i,jijM,ijxyhxByshxy01,i,jij0,ijxy,NhAxyi,jshxyij,Nijxy,01hAxyi,jshxyij,0iM1,2,,,jN1,2,,,x,yD(其中h将数据点x,,yzi,1,2,,,Mj1,2,,N插值成为ijijLipchitz连续函数且边界条件因此hxy,为二元分形插值函数,通过函数方程式Mx,,yhx,yhAxB,y,iM1,2,,,j1,2,,Nijij得到在二元分形插值函数hxy,,hxyhxyhxy00,,M,,,,hxy,N分别为传过以下数据点为一元分形插值函数xyz000,,,0,xyz010,,,1,,xyz0,NN,0,,xyzMMMM,,0,0,xyz,,1,1,,xyzM,N,M,N,xyz0,,00,0,xyz1,,01,0,,xyzMM,,0,0,xyz0,NN,0,,xyz1,NN,1,,,xyzM,N,M,N[定理7]设x,y为满足以上的假定及条件0,00,1,11。ijijij令ab,为满足以下的公式azzz,,,zb,0,00,NM,0M,NzzijiM1,2,,,0,0,z0,N,zM,0zMN,a,b。jN1,2,,注意到cx1minminij,yxyiM1,2,,x0,1jN1,2,,y0,1,cx2maxmaxij,yxyiM1,2,,x0,1jN1,2,,y0,1.31 第三章迭代函数系统理论研究minmax若sij1,且sssijijij,则Ga0,10,1c12,bc.(其中,G为给定的迭代函数系统的吸引子,也即为连续二元分形插值函数的图像)(Proof)跟[定理4]的证明方法类似的即,xyMi1minmin1j,y0,iM1,2,,y0,1jN1,2,,xyMi1maxmax1j,y0,iM1,2,,y0,1jN1,2,,yxNi1minmin,j10x,iM1,2,,x0,1jN1,2,,yxNi1maxmax,j10xiM1,2,,x0,1jN1,2,,且对于每一个固定参数,zxy由别的参数成为增加函数所以,由于[theorem4]的证明方法,Ga0,10,1c12,bc.通过这个定理,我们给出了为了二元非仿射分形插值函数的图像属于给定的立方体区域,要满足的充分条件。3.3基于MATLAB图像分析△置于给定区域内的二元线性分形插值函数图像的例子(图3-1，图3-2)图3-1图3-2△置于给定区域内的二元非线性分形插值函数图像的例子(图3-3，图3-4)32 第三章迭代函数系统理论研究图3-3图3-43.4小结本章通过严格的证明过程证明了文献[9]的必要充分条件可以换成一个充分条件，然后通过将Lagrange定理证明扩展到Roll定理证明的微分学手法，将仿射分形插值函数理论扩展到一种特殊的非仿射分形插值函数理论。在此过程中，我们第一次提出了非仿射分形插值函数的辅助变量设置问题，并且解决了一种特殊类型的非仿射分形插值函数图像为置于给定的区域内，提出要满足的充分条件并进行了证明。.最后，我们给出了一些分形插值函数图像的例子。33 第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用本章拟采用计算机中迭代函数系统IFS的方法，而创建一种迭代函数系统。根据分形空间的压缩映射定理，对给定的IFS码，利用随机性迭代可以得到IFS图形的吸引子，即在用IFS建模时只用少量的代码绘制出复杂的分形图形。4.1分形插值与应用分形插值（fractalinterpolation）是分形理论重要分支之一，它是美国科学家M.F.Barnsley于1985年发展起来的理论。目前看来，我们可尝试探索其在许多领域的应用可能性。在此我们要注意到仿射变换。4.1.1基于3-DIFS分形插值利用已有的二维分形理论，向三维分形扩展。此外，还以线性变换为基础再研究非线性变换，利用插值技术将模型进行平滑过渡。在此构建完成一种新的非线性迭代函数系统。分形插值的应用，通过给定的数据点构建分形插值曲面。设01xxx,01M01yyy,01Nxyiji,,|0zij,1,2,,,0Mj,1,2,,N为给定的数据!定义为wxij:0,10,1i11,xiyj,yj由xaxbijijwyijcdijijz122exfygxyszkijijijijij2wiij1,2,,Mj,1,2,,N34 第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用假定wiij1,2,,M,j1,2,,N为满足边界条件xxxx01i01iwyywyyij01jijNjzzzz0,0ij1,10,Ni1,jxxxxMiMiwyywyyij01jijNjzzzzMi,0,j1M,,Nij这时,变换wiij1,2,,M,j1,2,,N由9个实数abcdefgsk,,,,,,,,给出,并且这些实数为满足8个线性方程式ijijijijijijijijijaxbxij01ijicydyij01ijj122exfygxyszkzij00ijij000ij,0iji1,j12cydyijNijj122exfygxyszkzij00ijNijNij0,Niji1,j2axbxijMiji122exfygxyszkzijMij00ijMijM,0ijij,12122exfygxyszkzijMijNijMNijM,,Nijij2上述自行创建的迭代函数系统特征如下：1)并非所有的非线性迭代函数系统吸引子都具有连续性的特性，但本研究的迭代函数系统可以保证分形插值时的边界连续性，与目前已存在的迭代函数系统相比，本系统大大改进了插值的贴近自然性。2)应用范围更广：对于初始数据集没有任何大小及对称性的限制。3)所构建的分形插值曲面不仅在整体上能保持原始数据的主要特征，而且在局部上也能具备自相似的特点。因此，该迭代函数系统更有利于描述自然对象的实际应用。在下面的工作中，要将此类的迭代函数系统算法与计算机应用软件相结合，创建生成一些三维分形模型。35 第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用4.1.2通过MATLAB软件生成分形插值曲面上述构建的迭代函数系统是插值函数族，也就是说导入不同的数据库，就生成不同的三维分形模型。在应用层面来说，这一套迭代函数系统可以生成复杂边际的模型，如：山，地形，海底地形等等。这些复杂边际模型也可以进一步利用建模工具进行加工，逐步发展为建筑模型设计方案。第一阶段，运用迭代函数系统算法与MATLAB应用软件，生成一些三维分形模型。第一步，先编程MATLAB代码第二步，写出数据库，保存为txt格式sij第三步，导入数据库（*.txt格式），然后给定参数通过这样的算法，显示代码的结果。s数据库参数ij结果1mc0.01结果2mc0.2结果3mc0.9结果4ms0.01结果5ms0.3结果6ms0.7表4-1生成三维分形表结果1结果2结果336 第四章基于IFS生成三维分形的研究与应用结果4结果5结果6随着调整迭代函数系统中参数sij（0','s');af=input('ÊäÈë×ÝÏòѹËõ±Èaf===>');s=['F:ÂÛÎÄDATA'bds];sp=['F:ÂÛÎÄDATA'bds'z'];eval(['load's]);eval(['z='bds';']);eval(['clear'bds]);[m,n]=size(z);x=[0:1/(n-1):1];y=[0:1/(m-1):1];nn=(n-1)*(n-1);mm=(m-1)*(m-1);x1=x(n)-x(1);y1=y(m)-y(1);a=(x(2:n)-x(1:n-1))/x1;b=(x(n)*x(1:n-1)-x(1)*x(2:n))/x1;c=(y(2:m)-y(1:m-1))/y1;d=(y(m)*y(1:m-1)-y(1)*y(2:m))/y1;forj=1:m-1;forj0=1:m;jj=(j-1)*(m-1)+j0;yy(jj)=c(j)*y(j0)+d(j);endend52 附录fori=1:n-1;fori0=1:n;ii=(i-1)*(n-1)+i0;xx(ii)=a(i)*x(i0)+b(i);endendcz=z(1,1)+z(m,n)-z(1,n)-z(m,1);cm=(1/sqrt(2))*(sqrt(x(1)*x(1)+y(1)*y(1))+sqrt(x(n)*x(n)+y(m)*y(m))-sqrt(x(1)*x(1)+y(m)*y(m))-sqrt(x(n)*x(n)+y(1)*y(1)));bz1=z(1,1)-z(1,n);bz2=(sqrt(x(1)*x(1)+y(1)*y(1))-sqrt(x(n)*x(n))+sqrt(y(1)*y(1)));bm=x(1)-x(n);dz1=z(1,1)-z(m,1);dz2=(sqrt(x(1)*x(1)+y(1)*y(1))-sqrt(x(1)*x(1)+y(m)*y(m)));dm=y(1)-y(m);dn=ones(m-1,n-1);dn=dn*af;cc=(z(1:m-1,1:n-1)-z(1:m-1,2:n)-z(2:m,1:n-1)+z(2:m,2:n)-dn*cz)/cm;bb=(z(1:m-1,1:n-1)-z(1:m-1,2:n)-dn*bz1-1/sqrt(2)*cc*bz2)/bm;dd=(z(1:m-1,1:n-1)-z(2:m,1:n-1)-dn*dz1-cc/sqrt(2)*dz2)/dm;kk=z(2:m,2:n)-bb*x(n)-dd*y(m)-dn*z(m,n)-cc/sqrt(2)*sqrt(x(n)*x(n)+y(m)*y(m));forj=1:m-1;forj0=1:m;jj=(j-1)*(m-1)+j0;fori=1:n-1;fori0=1:n;ii=(i-1)*(n-1)+i0;zt=bb(j,i)*x(i0)+dd(j,i)*y(j0);53 附录zz(jj,ii)=zt+cc(j,i)*sqrt(x(i0)*x(i0)+y(j0)*y(j0))/sqrt(2)+dn(j,i)*z(j0,i0)+kk(j,i);end;end;end;end;z1=1.5;z2=3;mm=(m-1)*(m-1)+1;nn=(n-1)*(n-1)+1;x1=min(xx);x2=max(xx);y1=min(yy);y2=max(yy);dip=40;dir=-20;[x,y]=meshgrid(xx,yy);surf(x,y,zz)view(dir,dip);axis([x1x2y1y2z1z2]);view(dir,dip);gridoffv=axis;holdonplot3([x1x1],[y1y1],[v(5)zz(1,1)],'k')plot3([x2x2],[y1y1],[v(5)zz(1,nn)],'k')spp=['fwd=fopen('''''sp''''',''''''w'''''')'];eval([spp]);forj=1:mm;fori=1:nn;fprintf(fwd,'%8.2f',zz(j,i));end;fprintf(fwd,' ');54 附录end;fclose(fwd);2.数据库：数据库mc2.02.52.22.02.02.22.32.02.12.02.12.42.52.12.22.32.42.12.12.0数据库ms1.5671.8901.4562.6782.2222.7892.0981.8901.7892.5671.7892.1232.6542.0981.7652.2222.5982.2131.8961.7771.9992.2222.8762.5642.3451.7651.5552.4442.7891.7652.3452.7892.1111.8881.6542.5672.9992.3452.7771.6661.6782.3332.8921.6781.9882.4312.7992.1782.5991.5111.8992.1112.6662.2672.8952.5212.1091.7852.8901.77155 致谢致谢研究生阶段的学习转眼间已接近尾声，回首三年在天大的求学经历，足以欣慰的是能够看到自己在一步一步踏踏实实的成长，庆幸的是身边有一群非常优秀的师友，正是他们教会了我许多珍贵的知识和经验。首先要感谢我的导师孙济洲教授，感谢他对我论文写作的启发和指导，在他的指引下我才得以顺利完成这篇论文。感谢韩冬老师在学术上对我的指引，他开启了我对分形建筑认识的另一扇窗，使我有幸接触分形参数化等前沿理论科学；韩老师的治学态度和科学的工作方法给了我很大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来韩冬老师对我的关怀和指导。感谢实验室的工作人员刘伟，刘阳，罗华荣，李粱凯，卜兴兰，李旭杰，王建，他们在工程实践中为我答疑解惑，提供了无私的帮助，对我论文的研究工作也给予热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。感谢我的室友朴相龙长辈，我们一起度过人生中珍贵而难忘的研究生生涯，感谢您在生活中给予的关怀和帮助。另外也感谢国际教育学院的老师们，四年日子里，他们给了我很多支持、帮助、理解、宽容和关心。所有的欢笑、悲伤，笑容、泪水都凝成岁月留给我们的财富感谢我的父母，感谢他们对我求学的理解和支持，他们对我的期许是我鞭策自己前进的不竭动力，他们的健康平安是我最大的心愿。我还要感谢天津大学给予的实事求是、健康向上的求学环境，学校国际化的平台、活跃的学术交流，极大地拓宽了我的视野，提升了我各方面的素质。最后衷心感谢各位评审老师于百忙之中对论文的评审。禹英涉2015年5月56 —■ｊＩ天津大学硕壬学位论文ＩＩＩＩＩ１Ｉ１＊２１１２２１６００３＊