基于分形理论的齿轮接触模型研究

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1、(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数，记作D，。一般的表达式为：D，=lnK／lnD，，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。显然，D，在一般情况下是一个分数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?是因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的研究计算，英国海岸线的维数为1．26。有了分维，海岸线的长度就确定了。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论

2、和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。1．2．2分形理论国内外研究现状被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它承认世界的局部可能在一定条件下，过程中，在某一方面(形态，结构，信息，功能，时间，能量等)表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。虽然1875年德国数学家Cant

3、or提出的三分集就是分形的例子，但对分形的系统研究始于20世纪60年代法国学者Mandelbrot探索棉花价格随时间变化的规律。这与Lorenz从实际问题中发现混沌具有某种巧合。30多年来，分形理论及其应用已发展成与混沌理论及其应用并驾齐驱的非线性科学重要分支。国外关于分形几何的研究在80年代就在理论和实践上都有了很大突破。Mandelbrot在1975年发表论文通过对英国海岸线的研究提出分形理论【2J。90年代，Majumdar与Bhushan研究利用分形的方法研究两表面接触的情况，并建立M—B分形接触模型【3】【4】【6】，Thomas等人研究了利用Canton集来建立分形接触

4、模型51。文献【3l】基于分形理论研究了两金属表面接触的情况，文献【32】引入分形理论针对不同的滑动方式对摩擦温升分布规律进行了研究。由此可见，国外对分形理论的研究在不断的深入，成为现在研究的热点课题。我国1989年4月中科院国际材料物理中心举办分形学习班推动分形几何研究。1989年7月由四川大学、北京大学等高等院校组织召开了分形理论学术会议。然后，分形几何理论在很多科技领域，如农业、探矿、地震预报等方面，新材料发展和生物医学等都开始发展和应用。在我国较早研究分形理论的有中科院国际材料物理中心的郝柏林教授，主要研究分形与混沌【_7】；中国矿业大学的谢和平教授著的《分形一岩石力学》1

5、8】、东北大学的曾文曲教授翻译的《分形几何——数学基础及其应用》[91、清华大学教授张济忠著的《分形》UoJ一书，对我国分形理论的探讨和应用研究起到了很大的推动作用。工程兵指挥学院的陈国安教授研究了分形几何在粗糙表面分形特征、摩擦温升分布、磨损预测和磨屑分析等方面的应用【11】【12】【15】【22】，中国矿业大学教授葛世荣在分形维数的计算、表面形貌的分形模拟、机加工表面分形特征和摩擦力分形特征方面有着深入的研究【12】【14】【15】【22】。重庆大学的孙隶华教授等研究了“分形理论在制造决策模型实验数据建模中的应用"，北京科技大学的吕志民老师等研究了“分形维数及其在滚动轴承故障诊

6、断中的应用"，将分形维数作为识别滚动轴承故障的特征量，上海交通大学的汪慰军老师研究的“关联维数在大型机组故障诊断中的应用’’提出了将分形理论用于故障诊断的技术路线及基本计算方法。分形理论真正发展起来才二十年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构(即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集)、J集和M集及其推广形式的性质、动

7、力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。1．3论文的主要内容由于分形理论所具有的研究问题的新方法和新思路，已经在很多的领域中得到成功的应用。而分形理论已经在摩擦学的领域，尤其是在表面形貌的表述方面受到重视，也有越来越多的人投身其中。本文将分形理论应用到齿轮接触的研究中去。主要内容包括：1、将齿轮接触表面的形貌用合