分布式压缩感知联合重建算法的研究

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硕士学位论文MASTER’SDISSERTATION论文题目分布式压缩感知联合重建算法的研究作者姓名候肖兰学科专业信息与通信工程指导教师司菁菁2016年5月 中图分类号：TP391.4学校代码：10216UDC：621.39密级：公开工学硕士学位论文分布式压缩感知联合重建算法的研究硕士研究生：候肖兰导师：司菁菁申请学位：工学硕士学科专业：信息与通信工程所在单位：信息科学与工程学院答辩日期：2016年5月授予学位单位：燕山大学 ADissertationinInformationandCommunicationEngineeringTHEJOINTRECONSTRUCTIONALGORITHMSRESEARCHOFDISTRIBUTEDCOMPRESSEDSENSINGbyHouXiaolanSupervisor:AssociateProfessorSiJingjingYanshanUniversityMay,2016 燕山大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《分布式压缩感知联合重建算法的研究》，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。作者签字：日期：年月日 摘要摘要压缩感知是一种新型的信号采样理论，利用信号的稀疏性，在对信号采样的同时对数据进行了压缩。分布式压缩感知建立在压缩感知理论基础之上，在利用信号内部相关性的同时，利用了信号之间的相关性，将单个信号的压缩与重构扩展到多个信号，实现了多信号的分布式压缩与联合重构。本文研究分布式压缩感知的联合重构，主要进行了以下几方面的研究工作。首先，针对分布式压缩感知的混合支撑集模型，设计了联合向前变步长正交匹配追踪算法，在信号重构过程中根据相邻次迭代重建信号的能量差，自适应地对向前参数进行动态调整，在信号重建精度与算法运行时间之间取得平衡。进而，在联合向前变步长正交匹配追踪算法的基础上，设计了联合向前向后的变步长正交匹配追踪算法，有效降低了原子误选的几率，提高了信号重建的精度。然后，针对多路径匹配追踪算法无法利用稀疏信号的结构信息、迭代层数较高时计算复杂度较大等问题，设计了一种适用于重构块稀疏信号的块剪枝多路径匹配追踪算法。该算法以原子块作为路径扩张的节点，在一定迭代层数后引入树枝修剪操作，极大地降低了数据运算量。进而，针对多观测向量问题，设计了多观测向量块剪枝多路径匹配追踪算法，用以实现无线传感器网络小范围内多传感器信号的联合重构。实验结果表明本文提出的算法在重构效果和运行时间上具有优越性。最后，面向分簇无线传感器网络研究层次化分布式压缩感知。建立块稀疏簇内联合稀疏模型，联合描述簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性；建立块稀疏簇间联合稀疏模型，描述同一监测区域内各簇采集数据的空间相关性。基于分簇无线传感器网络采集信号的结构化稀疏特性，设计层次化观测方案以及分级联合重构方案。仿真实验结果表明了该方案在保证重建新号质量的同时，能够有效减少网络中传输的数据量，减少簇头的通信负担。关键词：分布式压缩感知；联合重构；贪婪追踪；多观测向量；块稀疏；无线传感器网络I AbstractAbstractCompressedsensingisanewsignalsamplingtheorywhichmakesfulluseofthesignalsparsityandfinishessamplingandcompressingatthesametime.Distributedcompressedsensingestablishedonthebasisofcompressedsensing.Itcanexploitbothintra-andinter-signalcorrelationstructuresatthesametimewhichmakescompressionandreconstructionfromasinglesignaltoexpansionofmulti-signalsandimplementmulti-signalsdistributedcompressionandreconstruction.Basedondistributedcompressedsensingofjointreconstructionalgorithm,thispaperconductsthefollowingresearchaspects.First,focusingonthemixedsupport-setmodelofdistributedcompressedsensing,jointlookaheadvariablestepsizeorthogonalmatchingpursuitalgorithmisbroughtforward.Thealgorithmdynamicallyperformstheadaptiveadjustmentofforwardparametersaccordingtotheenergydifferencebetweenreconstructedsignalsofadjacentiterationstostrikeabalancebetweensignalreconstructionaccuracyanditsrunningtime.Furthermore,ajointforward-backwardvariablestepsizeorthogonalmatchingpursuitalgorithmisputforward.Thealgorithmeffectivelyreducesthechanceofchoosingnon-optimalatomsandimprovesthesignalreconstructionaccuracy.Then,consideringthedisadvantagesofignoringsignal’sstructuredsparsityandthehighcomplexityinhighiterativelayersinmultipathmatchingpursuit,blockpruningmultipathmatchingpursuitisproposedtoreconstructblock-sparsesignal.Inthisalgorithm,anatomicblockservesasanodeinthepathexpansion,andbranchpruningoperationisintroducedafteracertainnumberofiterations.Thus,blockpruningmultipathmatchingpursuitreducesthedataprocessingcostgreatly.Moreover,formultiplemeasurementvectorproblem,blockpruningmultipathmatchingpursuitformultiplemeasurementvectorisproposed.Itcanachievejointsignalreconstructionformultiplesensorswithinasmallrangeinthewirelesssensornetwork.Experimentalresultsshowthattheproposedalgorithmhasadvantagesinreconstructioneffectandrunningtime.Finally,aimingathierarchicaldistributedcompressedsensingforclusteringwirelessIII 燕山大学工学硕士学位论文sensornetwork,block-sparseintra-clusterjointsparsitymodelisconstructedtodescribethetemporal-spatialcorrelationamongdatacollectedbyclustermembers,andablock-sparseinter-clusterjointsparsitymodelisconstructedtodescribethespatialrelationshipamongclustersarrangedinacommonmonitoringarea.Then,ahierarchicalmeasurementschemeandahierarchicaljointreconstructionschemeareraisedforhierarchicaldistributedcompressedsensing,basedonthestructuralsparsitycharacteristicsofdatacollectedinclusteringwirelesssensornetwork.Experimentalresultsshowtheprogramcanreducetheamountofdatatransmittedinthenetworkandrelievethetransmissionburdenontheclusterheadseffectively,withoutloweringthequalityofthereconstructedsignal.Keywords:distributedcompressedsensing;jointreconstruction;greedypursuit;multiplemeasurementvectorproblem;blocksparsity;wirelesssensornetworkIV 目录目录摘要.........................................................................................................................................IABSTRACT..........................................................................................................................III第1章绪论.......................................................................................................................11.1课题研究背景及意义.................................................................................................11.2国内外研究发展现状.................................................................................................21.2.1压缩感知的发展概述.........................................................................................21.2.2分布式压缩感知的发展概述.............................................................................31.3本文研究内容及组织结构........................................................................................5第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理论............................................................72.1压缩感知的理论基础.................................................................................................72.1.1信号的稀疏变换..................................................................................................72.1.2观测矩阵..............................................................................................................92.1.3重构算法............................................................................................................102.2分布式压缩感知理论...............................................................................................112.2.1JSM-1模型.........................................................................................................122.2.2JSM-2模型.........................................................................................................122.2.3JSM-3模型.........................................................................................................122.2.4混和支撑集模型...............................................................................................132.3本章小结....................................................................................................................13第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法.........................................143.1引言............................................................................................................................143.2基于混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法............................................153.2.1jointOMP算法和jointLAOMP算法.............................................................153.2.2jointLAVSOMP算法........................................................................................153.2.3jointFBVSOMP算法........................................................................................173.3实验结果与分析.......................................................................................................183.4本章小结....................................................................................................................22第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构.........................................234.1引言............................................................................................................................234.2MMV问题和块稀疏信号........................................................................................244.2.1MMV问题..........................................................................................................244.2.2块稀疏信号........................................................................................................24V 燕山大学工学硕士学位论文4.3BPMMPMMV算法...................................................................................................254.3.1MMP算法...........................................................................................................254.3.2BPMMP算法.....................................................................................................264.3.3BPMMPMMV算法...........................................................................................274.4实验结果与分析.......................................................................................................294.4.1BPMMP算法的性能分析.................................................................................294.4.2BPMMPMMV算法的性能分析......................................................................304.5本章小结....................................................................................................................34第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知.............................................355.1引言............................................................................................................................355.2层次化模型................................................................................................................365.3层次化分布式压缩感知...........................................................................................375.3.1簇内DCS...........................................................................................................375.3.2簇间DCS...........................................................................................................385.3.3层次化DCS重构.............................................................................................415.4实验结果及分析.......................................................................................................445.4.1基于合成信号的层次化DCS与普通DCS算法对比.................................445.4.2基于温度信号的层次化DCS与普通DCS算法对比.................................475.5本章小结....................................................................................................................49结论....................................................................................................................................50参考文献...............................................................................................................................52攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果............................................................57致谢....................................................................................................................................58作者简介...............................................................................................................................59VI 第1章绪论第1章绪论1.1课题研究背景及意义随着互联网进入千家万户，随之对信息的需求量也在增加，时刻都在进行着信息的交换。互联网的创新成果深深的影响到社会生活各方面。“互联网+”概念的提出，表明在新时代里我们可以利用互联网的平台、信息通信技术把互联网和包括传统行业在内的各行各业结合起来，从而形成以依靠互联网发展的新经济形势。“互联网+”带来巨大便利的同时伴随而来的是无所不在的计算和数据，那么如何降低因数据的处理、存储、传输和恢复造成的巨大成本，成为一个新的挑战。人们在处理数据时，一般采用压缩方法，减少传输的数据从而节省了存储空间，提高了信息传输的效率，同时没有丢掉重要的数据，去掉非重要的数据，保留那些本质性的数据，从而减少了存储空间和传输过程中的能量消耗。如何最大限度减少的能量消耗，降低计算的复杂度，节省存储空间，而又不影响数据恢复的结果就显得尤为重要。近些年来，压缩感知(CompressedSensing,CS)[1,2]已经吸引了很多专家学者的注意，因为压缩感知取代了传统的压缩方法，将采样和压缩同时进行，经过数据的存储和传输，最后能以很高的精确度来完美重构被压缩的信号。压缩感知在信号处理领域是一种新的思路。它不用经过传统的奈奎斯特采样的阶段，该理论证明了如果数据本身是可进行压缩的，或者数据在经过某个稀疏变换域(小波基、离散余弦基等)的变换后是可压缩的，那么就可以用一个与该稀疏变换域不相干的且维数在很大程度上低于被压缩数据的维数的观测矩阵来获得原数据的低维投影向量，进而通过求解欠定方程，把欠定方程的求解问题转化为一个最优化问题，最后通过利用相应的求解算法就可以很大程度上高精度的重构出原数据。而与奈奎斯特理论相比较而言压缩感知的创新之处在于，用远远小于奈奎斯特定理要求的采样频率去采样信号，将压缩、采样同时进行，能够在不损失信息的前提下，准确重构出原信号。Donoho等人从数学理论上严格的证明了压缩感知理论的正确性[3,4]，并且随着各类重构算法的发展成熟，压缩感知越来越得到更多重视。但是CS只是研究单个信号的重构问题，对于多信号的恢复不能充分利用多信号的相关性。于是在2005年DrorBaron等提出了分布式压缩感知(distributedcompressedsensing,DCS)[5]的思想。分布1 燕山大学工学硕士学位论文式压缩感知将一个传感网络里多组数据的空间相关性和时间相关性利用起来，建立联合稀疏模型，设计联合重构算法，为利用CS思想解决多信号的重构问题提出了新的方向。DCS利用了信号内部和信号间的相关性将单个信号的采样压缩扩展到多个信号的采样压缩，从而进一步减少了精确重构所需的采样点数，大大降低了计算的复杂度，从而为WSN中的大量数据处理提供了一种更好的思路。1.2国内外研究发展现状1.2.1压缩感知的发展概述压缩感知理论提出之后，受到广泛重视。经过各个领域研究人员的研究工作，压缩感知理论已经发展的逐渐成熟。它的应用研究己经涉及到图像处理、无线传感网络[6]、生物医学[7]、压缩感知雷达[8]等众多领域。目前，压缩感知的理论研究中如何对信号的进行稀疏表示、以及测量矩阵的设计都是CS的重要组成部分，而如何运用高效的重构算法完美恢复信号是CS的关键问题。数据必须具有可压缩特性或在某个变换域上具有稀疏特性是应用压缩感知理论的前提。因为信号越稀疏，所需要的观测值就越少，重建效果就会越好，所以找一个稀疏表示基对信号进行稀疏表示是一个非常重要的问题。为了充分发掘和利用数据的稀疏特征，把本身不具有稀疏性的数据经过稀疏表示基的变换使之具有稀疏性，是CS理论的第一步。常用的稀疏表示基有正交基，傅立叶变换基、小波变换基等。经过这些变换后有助于进一步研究分解后系数的能量集中程度以及提高信号的非线性逼近能力。在稀疏表示中，基于正交基的稀疏表示是可逆的，但存在很大的局限性。文献[9]和文献[10]又分别提出了正交基字典和冗余字典的概念。正交基字典是一种正交变换系统，由多种不同正交基组成的，在文献[9]中指出正交基字典中可以根据数据序列自身的具体结构自适应的寻找最合适的元素。冗余字典不再是单一基，而是通过超完备的冗余函数库代替单一的基函数，可以通过提升变换系统的冗余性从而能够更好的选择最有可能符合逼近数据结构的字典。接下来就是设计观测矩阵的问题。对信号进行稀疏变换后如何对稀疏信号进行线性观测是压缩感知理论中非常关键的一部分。如何从采样得到M个观测值中重构出长度为N原信号或原信号的稀疏系数是观测矩阵的设计目的。文献[11]中指出有限等距约束性质(RestricteIsometryProperty,RIP）在CS重构数据中的重要性，只有满2 第1章绪论足了此性质才能确保唯一性的重构该数据。文献[11,12]指出除了数据具备稀疏性外稀疏矩阵和观测矩阵具备非相干性是压缩感知的另一个准则。满足以上条件的有高斯随机矩阵，哈达玛矩阵、二值随机矩阵、托普利兹(Toeplitz)矩阵和贝努利随机矩阵等。他们分别都有着各自的不同适应条件，在一定的条件下都能够高概率的完美恢复数据序列。设计快速精确的恢复算法是压缩感知的核心内容。信号的重构就是如何不失真的从低维信号中恢复出高维信号。目前，已有的重构方法主要有三大类[13]，每类算法都有不同的特点，它们分别是：贪婪追踪算法、凸松弛算法和组合算法。贪婪追踪算法是通过每次迭代用最小二乘法选择一个局部最优解逐步递增来求解非零系数，其中包括MP算法[14]、OMP算法[15]、梯度追踪(GradientPursuits,GP)算法[16]、正则化正交匹配追踪(RegularizedOrthogonalMatchingPursuit,ROMP)算法[17]、稀疏度自适应匹配追踪(SparsityAdaptiveMatchingPursuit,SAMP)算法[18]、分段正交匹配追踪(StagewiseOrthogonalMatchingPursuit,StOMP)算法[19]、子空间追踪(SubpuistPursuit,SP)算法[20]、压缩采样匹配追踪(CompressiveSamplingMatchingPursuit,CoSaMP)算法[21]等。凸松弛算法是通过在约束条件下的凸优化问题转化成线性规划求解，其中包括迭代阈值算法、基追踪(BasisPursuit,BP)算法[22]、内点法、梯度投影(GradientProjectionforSparseReconstruction,GPSR)算法[23]。组合优化算法包括HHS追踪算法和傅立叶采样算法。该算法对采样要求最严格。三种算法各有优缺点，凸松弛算法属于线型规划内求解极值的问题，虽然求解结果比较准确但是计算量非常大，从而导致该算法的收敛速度很慢；组合算法虽然计算复杂度比较小，但重构效果没有凸松弛算法好；贪婪追踪算法兼顾了数据的重构效果和运行效率两个方面，并且在它们中间取得了一个平衡效果，而且该算法结构简单，因此得到国内外广大学者重视。1.2.2分布式压缩感知的发展概述针对单个信号的CS理论研究已经比较成熟，但是针对分布式信号的研究还很不够，在文献[5]中首次提出了分布式压缩感知，它在CS理论的基础上利用了多组数据的空间相关性和时间相关性，从而挖掘信号内部和信号间的相关性，在利用信号内部相关性的同时，利用了信号之间的相关性，实现了多信号的分布式压缩与联合3 燕山大学工学硕士学位论文重构，进一步减少了精确重构所需的采样点数，大大降低了计算的复杂度，从而使CS的应用范围得到了进一步扩展。DCS信号的联合稀疏特征要比多个不关联的独立稀疏信号构成的数据集合的稀疏性更强。因此意味着可以利用信号内部和信号之间的相关性用更少的观测值去精确地重构信号，实现分布式压缩编码，把编码和解码分开，使得编码端可以根据不同情况采用不同的编码方式，而在解码端采用联合译码重构出不同的信号。因此，分布式信源编码实际上是将计算复杂度由编码端转移到了译码端。因此在进行联合译码时可以在保证信息不丢失的情况下，去除信号之间的冗余。如何根据信号的相关性，去除信号间的冗余，提高压缩率，建立合适的稀疏模型是DCS信号重构的关键。在无线传感网络中信号之间的相关性往往表现在空间和时间的相关，这种相关性非常有利于信号的压缩。因此针对一个具体的无线传感网络，建立合适的信号模型，是分布式压缩感知理论研究中的一个重要问题。Baron等人在文献[5]中提出了三种适用于不同场景的JSM：JSM-1、JSM-2和JSM-3。2011年，Sundman等人在JSM-1、JSM-2和JSM-3的基础上，提出了混合支撑集模型[24]。与以上三种联合稀疏模型相比，混合支撑集模型更具有一般性，而JSM-1、JSM-2和JSM-3均可以看作是混合支撑集模型的特例。针对不同的联合稀疏模型，对联合稀疏信号的重构方法也不同。如何根据具体的联合稀疏模型研究准确合适的重构方法，是分布式压缩感知重构信号的重点，因此得到了国内外专家的广泛关注[25-28]。随着对分布式压缩感知研究的深入，分布式压缩感知的应用领域也在日益广泛。例如在精细农业方面对农作物的生长环境的温度、湿度、氧气浓度等若干参数进行监测；在军事方面对重要领域内进行实时监测、感知并采集数据进行处理；在环境监测方面：对城市、野外生态环境的监测以及森林火海、海洋、湖泊与河流水位监测；在医疗卫生方面对患者的综合监测，有利于对病情的及时处理，还可以对研制新药和药品管理带来方便，对病人、老人或医护人员进行跟踪或监视；因此分布式压缩感知的理论研究都是为了把压缩感知理论进行更好的实际应用推广。如何针对实际应用领域设计出更精确更快速的算法、模型从而可以用更少量数据，更小的存储数据的空间，更快的传输数据的速度，从而获得更好的应用效果而提高应用系统的性能这些均是将分布式压缩感知应用到实际领域而需要克服的困难。4 第1章绪论1.3本文研究内容及组织结构分布式压缩感知的重建算法是本文的主要研究内容，针对信号的不同稀疏模型，为了更好地提高信号的重构性能，本文利用信号不同结构特性设计重构算法。研究的主要内容包括以下方面：(1)针对混合支撑集模型，研究DCS的信号联合重构算法。提出了联合向前变步长正交匹配追踪算法，该算法在信号重建精度与算法运行时间间取得平衡。然后，在联合向前变步长正交匹配追踪算法的基础上，提出了联合向前向后的变步长正交匹配追踪算法，有效降低了原子误选的几率。实验结果表明，联合向前变步长正交匹配追踪算法的重构性能优于现有的向前参数固定的联合向前正交匹配追踪算法，而联合向前向后的变步长正交匹配追踪算法具有更高的信号联合重构性能。(2)针对多路径匹配追踪算法无法利用稀疏信号的结构信息、需要已知信号的稀疏度、迭代层数较高时计算复杂度较大等问题，提出了一种适用于重构块稀疏信号的块剪枝多路径匹配追踪算法。进而，针对多观测向量问题，提出了多观测向量块剪枝多路径匹配追踪算法，用以实现无线传感器网络小范围内多传感器信号的联合重构。实验结果表明，本文提出的块剪枝多路径匹配追踪算法的重构性能优于多路径匹配追踪算法，多观测向量块剪枝多路径匹配追踪算法的联合重构性能优于多观测向量块A*正交匹配追踪、多观测向量子空间匹配追踪和多观测向量正交匹配追踪算法。(3)基于分簇WSN，研究层次化DCS。建立块稀疏簇内联合稀疏模型，联合描述簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性；建立块稀疏簇间联合稀疏模型，描述同一监测区域内各簇采集数据的空间相关性。基于分簇WSN采集信号的结构化稀疏特性，提出层次化DCS的层次化观测方案和分级联合重构方案。仿真实验结果表明，与普通DCS相比，层次化DCS在保证重建信号质量的同时，能够有效减少网络中传输的数据量，减轻簇头的通信负担。文章组织结构安排如下：第1章：绪论。介绍本研究课题的研究背景及意义，对压缩感知和分布式压缩感知的基本理论的发展和应用作了简述，并给出了文章的组织结构安排。第2章：压缩感知和分布式压缩感知的基本原理。主要介绍了包括稀疏表示、观测矩阵、重构算法在内的压缩感知的基本理论和分布式压缩感知的JSM-1，JSM-2，5 燕山大学工学硕士学位论文JSM-3模型和混合支撑集模型以及各个模型的适用场景。第3章：面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法。首先介绍了DCS理论和混合支撑集模型，然后在混合支撑集模型基础上研究其重构算法。对联合向前正交匹配追踪算法进行改进提出了联合向前变步长正交匹配追踪算法，进而，在此基础上，提出了联合向前向后变步长正交匹配追踪算法。进而通过实验结果表明算法的有效性。第4章：基于块剪枝多路径匹配追踪的多信号联合重构。首先介绍了多观测向量问题和块稀疏信号，然后对多路径匹配追踪算法改进，提出了一种适用于重构块稀疏信号的块剪枝多路径匹配追踪算法。进而，针对多观测向量问题，提出了多观测向量块剪枝多路径匹配追踪算法，用以实现无线传感器网络小范围内多传感器信号的联合重构。最后通过实验结果表明算法的有效性。第5章：适用于无线传感器网络的层次化分布式压缩感知。首先介绍了层次化模型和层次化DCS，然后研究层次化DCS。建立块稀疏簇内联合稀疏模型，联合描述簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性；建立块稀疏簇间联合稀疏模型，描述同一监测区域内各簇采集数据的空间相关性。基于分簇WSN采集信号的结构化稀疏特性，提出层次化DCS的层次化观测方案以及层次化DCS的分级联合重构方案。最后仿真实验结果表明层次化DCS模型和其重构方案的有效性。最后，对本文的研究进行总结，对后期的研究进行分析。6 第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理轮第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理论2.1压缩感知的理论基础CS理论是近些年由Donoho等人提出的一种新颖的压缩采样理论。它主要包括三个方面的内容：信号的稀疏表示，信号的采样和重构算法。压缩感知是用一种新的压缩方式在信息不损坏的情况下，用远远小于普通信号处理所要求的信号带宽两倍的采样频率来完全恢复信号。本节主要介绍压缩感知的基本原理，假设一个有限长一维离散信号x，其投影到某个正交基Ψ是稀疏的，即x可表示为Nxi1θiφiΨΘ(2-1)T式中Θθ,θ,,θ——变换系数向量；12NΨφ1,φ2,,φN——稀疏变换基矩阵。将长度为N的原信号x与一个与变换基Ψ不相关的观测矩阵Φ:MNMN作内积，得到一个长度为M的观测向量，信号的采样过程如下式：yΦxΦΨΘ(2-2)令AΦΨ，称A为传感矩阵，则该过程也可表述为yAΘ，即稀疏系数向量Θ通过A进行观测。观测信号y的维数小于原始信号x的维数，此时重构出高维的原始信号x是NP-hard难题，那么如何从观测向量y中准确地恢复出信号x这就需要设计高效的压缩感知重构算法来解决的重要问题。此时重构问题可以转化为0-范数最小化的优化问题。minΘs.t.AΘy(2-3)Θ0信号的稀疏表示，信号的采样和重构算法这三个方面是压缩感知的重要组成部分，下面将从以上三个方面对压缩感知理论进行介绍。2.1.1信号的稀疏变换假如信号经过某种稀疏域变换后，其变换系数大部分的绝对值很小，我们就可认为该信号是可压缩信号或者称该信号在此变换域下是稀疏的。信号的这种可压缩性和稀疏特性是压缩感知重要的理论基础，因此研究信号的稀疏性是压缩感知的首要问题。目前常用的稀疏变换有离散傅里叶变换(DFT)、小波变换(wavelet)、离散余7 燕山大学工学硕士学位论文弦变换(DCT)、正交基字典以及过完备冗余字典等。信号的稀疏变换也就是用稀疏字典中的少量原子来表示原信号，经过稀疏变换后的信号大部分稀疏非常小或者为零，只有少部分数值较大的系数，但是正是这些少量幅值大的系数包含了信号重构的完备信息，压缩感知就是利用这些幅值大的少量系数的信息去恢复原始信号的本质特征。在信号的稀疏变换中为了更稀疏的表示信号，需要寻找合适的稀疏表示基。信号的稀疏性越强在稀疏表示时需要的表示原子个数就越少，恢复出的信号与原始信号的误差越小越接近，从而实现信号的精确重构，相反，信号的稀疏系数的非零个数越多稀疏性越弱，重构的信号与原始信号误差越大。因此，一个合适的稀疏变换域在信号的稀疏表示中起着非常关键的作用。稀疏概念的数学定义如下，假设信号x是一个N1维的列向量，其P-范数为：1NPPxPxi(2-4)i1T信号x在稀疏表示基下的稀疏系数为ΘAx，假如满足0p2和Q0，且以下式子成立：1/ppΘpθiQ(2-5)i那么说明稀疏系数向量Θ在此变换域下是稀疏的，如果Θ只有K个非零系数，则说明稀疏系数向量Θ是K-项稀疏的，即稀疏度为K。选择一个合适的稀疏表示基进行稀疏变换，信号才能被精确地表示，从而使重构的信号与原信号误差越小。近几年，用冗余字典(over-completedictionary)来进行稀疏表示吸引了专家学者的注意。因为冗余字典中的原子是非正交的，正是这种冗余性才能在稀疏表示时更好的逼近信号。而且由于原子的非正交性，所以冗余字典在构成时没有过多的约束，而且构成的原子的数量很庞大，克服了传统正交基字典的缺点。特别是在图像的稀疏表示中，一种好的冗余字典能更好的表现出图像的纹理，轮廓特征。冗余字典的基础是小波分析。在过完备的冗余字典中，经过稀疏表示后，信号的能量被集中表示在非零元素的原子上，它们就包含了信号的各种信息。在压缩感知理论中冗余字典对各类信号的应用都有比较好的结果。目前专家学者们对冗余字典的信号稀疏表示研究，一是设计有效快速的稀疏算法，使得其恢复精度准确有效；二是为了最大程度上逼近某类信号，如何构造出一个适合这类信号的冗余字典。对于这两个问题国外已经做出了大量的探索和研究[29,30]，目前存在的8 第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理轮信号稀疏分解算法有匹配追踪算法(MatchingPursuit,MP)、基追踪算法(BasicPursuit，BP)、最佳正交基方法(BasisOrthogonalBest,BOB)和框架方法(MethodofFrames,MOF)等。2.1.2观测矩阵观测矩阵在压缩感知中起着至关重要的作用，在对信号进行处理时，往往先对原始信号进行稀疏表示，然后把稀疏系数投影到与其不相干的观测矩阵上，即：y=Φx=ΦΨΘ=AΘ(2-6)式中y——M1的矩阵；Φ——观测矩阵，MN的矩阵；A——信息算子，MN的矩阵；x——N1的矩阵；Ψ——NN的矩阵，MN。可见，通过稀疏变换后得到信号的稀疏系数没有降低信号的维数，而观测矩阵将N1维的原信号x降维M1。对于从y求解Θ这是一个线性规划问题，因为MN，所以这是一个没有明确的定解的欠定问题，如果观测矩阵满足RIP等距约束性准则[12]即：T对于给定的任意向量xR，常数0,1，如果满足k2221kx2ATx21kx2(2-7)则称传感矩阵A具有RIP性质，其中T1,2,...,N，AΦΨ为信息传感矩阵，信号的稀疏度为k，如果信号稀疏度小于k并且满足1，那么它们在很大k2k3k概率上都可以被准确恢复。但是一个给定的A怎么去验证它是否有RIP性质是一个很困难的问题，在文献[13]中指出，如果观测矩阵Φ与稀疏变换基Ψ不相干，那么传感矩阵A会在很大程度上满足RIP原则。相干性定义如下：Φ,ΨNmaxk,j(2-8)1k,jn式中u——Ψ和Φ的相关性系数；——Φ的行向量；k——Ψ的列向量。j9 燕山大学工学硕士学位论文如果Ψ和Φ的相关性越弱，那么不相关性就越强，相关系数的取值范围1uN。目前的研究表明在CS中可作为测量矩阵使用的矩阵主要有三种类型：第一种矩阵有高斯随机矩阵、亚高斯随机矩阵、伯努利随机矩阵、非常稀疏投影矩阵等。这类矩阵的缺点是实际应用时，需要较大的存储空间而且计算复杂度高。但是它们的元素是随机的而且可以确保与大部分稀疏矩阵不相关，需要较少的观测值就可以达到重构精度。第二种测量矩阵主要有部分哈达玛矩阵，部分傅里叶矩阵和非相关测量矩阵等。但是这类矩阵是适合某类信号，因此应用范围具有一些限制。它们是从正交矩阵中随机选取部分行，然后归一化每一列。第三种测量矩阵主要有托普利兹矩阵、随机卷积测量矩阵、结构化随机矩阵和二进制矩阵等。这类矩阵能够看作成前两类矩阵的优化，它们是采用特定的方式生成的。2.1.3重构算法压缩感知的关键问题是信号的重构。如何快速、有效的从低维的测量值中恢复出高维的原信号是核心问题。压缩感知常用的算法有三大类：第一是贪婪匹配追踪算法，每次迭代选取一个最优解，通过不断地迭代，逐步逼近原信号。由于此类算法简单、复杂度低，得到了大量的应用。主要算法有：匹配追踪算法(MP)、正交匹配追踪算法(OMP)、向前正交匹配追踪算法(LAOMP)[31]、引入阈值的正则化正交匹配追踪算法(ROMP)、分段正交匹配追踪算法(StOMP)，加入回溯思想的压缩采样匹配追踪算法(CoSaMP)、子空间追踪算法(SP)和向前向后追踪算法(FBP)[32]等。第二种是凸松弛算法，包括基追踪算法(BP)、内点法、迭代阈值法等通过凸优化方法找到逼近解。第三种是组合算法主要包括HHSP(HeavyHittersonSteroidsPursuit)追踪法、傅立叶采样法、CP(ChainingPursuit)链追踪法等。由于贪婪追踪算法具有复杂度低，重建速度快等优点在实际应用中得到广泛使用。下面介绍贪婪迭代算法的核心思想。MP算法是贪婪追踪算法的基础，计算过程如下：MP算法利用最大相关匹配准则maxr,d找出最匹配的原子，其中r表示k1jk1第k-1次分解后信号剩余分量，d表示字典矩阵D的某一列原子。即：j10 第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理轮rr,ddRr(2-9)kkrjrjj1k经过k次分解后，观测信号kyn0rny,drnrnyrk1y(2-10)因为222ryryry,d(2-11)kr1rrk1因此MP算法是收敛的。经过k次迭代后kyn0rny,drnrnyrk1yykrky(2-12)OMP算法针对MP算法在迭代过程中会重复出现已经选择过的原子，而导致收敛速度慢的缺点。OMP算法对在每一步的分解选出的全部原子正交化处理，使每一次迭代后的残差同已选出的传感矩阵的列向量正交，因此OMP算法的收敛速度更快，最后通过全部选出的传感矩阵的列向量的伪逆与观测信号运算计算出。OMP算法的基本过程如下：输入：观测数据y，稀疏度K，信息传感矩阵A；输出：恢复数据x；(1)初始化参数变量：ry，I，k1；00(2)找出寻找信息传感矩阵的列与残差相关性最大的原子索引值：argmaxr,d；kk1jj(3)更新索引值的集合：II；kk1k†(4)更新残差：ryAAy；kkk†(5)若满足停止迭代条件：停止迭代，计算xAy；否则kk1，返回(2)。k2.2分布式压缩感知理论DCS理论是由DrorBaron等人初次提出，发掘数据的空间相关性和时间相关性，利用多个信号的相关性进行联合重构，从而节省了传输能耗而且提高了联合重构性能。DCS有四种联合稀疏模型(JointSparseModel，JSM)，分别为JSM-1、JSM-2、JSM-3和混合支撑集模型。11 燕山大学工学硕士学位论文2.2.1JSM-1模型稀疏的公共部分和特有部分这两部分组成了JSM-1模型的信号结构。其中，所有信号的稀疏公共部分是完全相同的，每个信号的稀疏特有部分的稀疏系数和支撑集都是不同的，并且稀疏的公共部分和特有部分都可以在某一个基上进行稀疏表示，即：xzz；j1,2,...,J(2-13)jcj其中：zΨs，zΨs，sK，sK。ccjjj0jc0c式中z——公共部分；cz——特有部分；jΨ——稀疏表示基；J——信号的个数；s——特有部分的稀疏向量；js——公共部分的稀疏向量。cJSM-1模型适用于描述全部的传感器被整个的大环境影响而单个的传感器被部分的小环境影响的环境。例如一组传感器网络监测一沙漠地区的温度。季节的变换、风的吹动、早晚的变换是影响该环境温度的全局因素，而局部的动物跑动，地势的高低等只能对该部分的温度造成影响。2.2.2JSM-2模型在JSM2中，所有的信号经过稀疏变换后，不仅稀疏度相同而且非零值都在相同的位置，但是非零值的大小却不同。即：xΨs,j1,2,...,J(2-14)jj其中：sK。j0JSM-2模型的信号可以理解为公共部分的系数都为零，即只有特有部分的系数，可以进行稀疏变换，而且变换后特有部分的支撑集都相同。该模型适合的场景有阵列处理、MIMO通信等。例如多个传感器同时接收到一个信号时，可能信号在多径传播过程中会产生相移和衰落，但是它们却能在稀疏变换域域上稀疏表示。2.2.3JSM-3模型在JSM-3模型中，信号的数据结构和JSM-1模型相似，不同点在于信号的公共12 第2章压缩感知与分布式压缩感知的基本理轮部分不是稀疏的。即：xzz,j1,2,...,J(2-15)jcj其中：zΨs（s则为非稀疏向量），zΨs，sK。cccjjjj0JSM-3模型的一般运用在同一个场景，这个场景有一个非稀疏的背景信号，比如视频流，这个背景信号不是稀疏的，但是在随着时间发生变化。在进行重构时，可以利用它们在时间上的相关性进行压缩。因为在相邻时间内背景信号之间的差别是稀疏的。2.2.4混和支撑集模型以上提出的三种信号模型并不适合所有的信号模型，具有一定程度的局限性。混合支撑集模型由DennisSundman等人提出，在该模型中公共部分的支撑集相同，而其系数不再完全相同。设传感器网络中有J个传感器节点。与JSM-1相同，混合支撑集模型将每个传感器节点j采集到的信号xj划分成两部分，即：cpcpxzzΨsΨs,j1,2,...,J(2-16)jjjjj其中，cpI和Ip上。s和s具有独立的非零成分。而且非零值分别分布在支撑集jjcj所有信号的cI上，信号x的支撑集表示为sj的非零值都分布在共同支撑集cj(p)III。jcjc与JSM-1不同的是：在混合支撑集模型中，公共部分zj:j1,2,...,J不是完c全相同的，而是仅支撑集Ij:j1,2,...,J相同。为了便于后续描述，令共同支撑集为I，即令IcI，将信号x的支撑集表示为III(p)，令稀疏度KI、cjcjjcjcc(p)(p)KI。混和支撑集模型相当于是对JSM-1模型的改进，与其他两个模型相比jj有相同点和不同点，具有更广阔的应用范围。2.3本章小结本章首先介绍了稀疏表示、观测矩阵和重构算法的压缩感知的三部分内容。其中详细介绍了稀疏表示方法和观测矩阵的类别以及常用的贪婪追踪算法。然后介绍了分布式压缩感知的四个模型：JSM-1模型，JSM-2模型，JSM-3模型和混合支撑集模型，并对各个模型特点和适用情况进行了描述。13 燕山大学工学硕士学位论文第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法3.1引言Baron等人提出的DCS建立在CS理论的基础上，将单个信号的压缩与重构扩展到多个信号，能够以较低的采样率实现多信号的分布式压缩与联合重构。联合稀疏模型的构建是实现DCS信号重构的关键。JSM根据信号本身的特性，描述信号内部与信号之间的相关性，使得DCS能够根据更少的观测值实现多信号的联合重构。Baron等在文献[5]中提出了三种适用于不同场景的JSM：JSM-1、JSM-2和JSM-3。此后，JSM的构建及其基础上的信号联合重构算法的设计成为了DCS领域一个最重要的研究方向[25-28]。2011年，Sundman等[33]在JSM-1、JSM-2和JSM-3的基础上，提出了混合支撑集模型。与以上三种模型相比，混合支撑集模型更具一般性，而JSM-1、JSM-2和JSM-3均可以看作是混合支撑集模型的特例。最近几年，针对混和支撑集模型的信号联合重构算法受到了学者们的关注。文献[33]在OMP算法与SP算法的基础上，提出了jointOMP算法与jointSP算法。文献[34]提出了一种分布式正反向贪婪正交追踪算法。文献[35]基于Frechet均值法与预知匹配追踪算法实现了DCS信号重构。文献[36]在jointOMP算法的基础上，引入LAOMP算法中的向前参数，提出了jointLAOMP算法，极大地提高了混合支撑集模型下DCS信号联合重构的性能。然而，jointLAOMP算法中的向前参数是一个固定值。若选取不当，则会直接影响算法的重构性能。若L的值比较小，原子的选择范围比较窄，那么由于误差或信号传输过程中的噪声等因素很有可能选不到最准确的那个原子，使重建精度大为下降。如果L的值很大，在进行第二次原子选择时，又会使计算量特别大，造成不必要的资源浪费。如何更加精确地重建信号，在运算时间和效果中取得平衡，需要根据信号对L进行合理选择。本章针对这一问题，提出了一种联合向前变步长正交匹配追踪(jointLookAheadVariableStepsizeOrthogonalMatchingPursuit，jointLAVSOMP)算法，根据相邻次迭代重建信号的能量差，利用双重阈值控制向前参数以变步长的形式逐步增长，从而基于大步长快速接近与小步长逐步逼近的思想，实现最优原子的快速搜索。进而，在jointLAVSOMP算法的基础上，引入原子淘汰机制，提出了一种联合向前向后的变步长正交匹配追踪(jointForward-BackwardVariableStepsizeOrthogonalMatchingPursuit，jointFBVSOMP)算法，每隔一定的迭代次数，回溯淘汰14 第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法对当前重建信号贡献小的原子，使误选的原子有机会被移除。仿真结果表明，jointLAVSOMP算法和jointFBVSOMP算法能够获得优于现有的jointOMP算法和jointLAOMP算法的多信号联合重构性能。3.2基于混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法3.2.1jointOMP算法和jointLAOMP算法jointOMP算法是为了解决DCS的混合支撑集模型的联合重构问题，以OMP算法为基础提出的。它解决了混合支撑集模型的多信号重构问题。jointOMP算法主要步骤为：首先根据OMP算法依次求解所有信号的支撑集，然后选出出现次数最多的支撑集作为公共支撑集，在下一轮迭代过程中把上一轮选出的公共支撑集作为已知部分进行求解迭代，依次求出所有的公共支撑集I。求出所有公共部分支撑集后c把I作为初始支撑集求解特有部分支撑集，同时完成了多信号的联合重构。cjointLAOMP算法是在LAOMP算法的基础上进行改进得到的，用来解决混和支撑集模型的联合重构问题。在jointOMP基础上引入了向前参数L，扩展了原子的选择范围，获得了一种比jointOMP算法的重构性能更高的分布式压缩感知的重构算法。LAOMP算法的基本思想是：每次迭代选择最有潜力的L个原子，然后从这L个原子中选出使拟合残差能量最小的一个原子将其加入支撑集中，接着估计信号并更新残差。当残差能量不再减少或迭代次数达到最大稀疏度时停止迭代。其方法与OMP算法相似，当L1时，LAOMP算法即为OMP算法。3.2.2jointLAVSOMP算法jointLAOMP算法通过引入向前参数L，扩展了原子选择范围，获得了良好的重构性能。然而，jointLAOMP算法中的向前参数L是一个固定值，L值的设置直接影响着算法的重建性能。若L值过小，则原子的选择范围比较窄，LAOMP算法通过引入向前参数扩展原子选择范围的优势不明显。相反，若L值过大，则会显著增加原子二次选择的计算量，造成不必要的资源浪费。因此，为了在运算时间与重建效果间取得平衡，需要根据实际信号的特性对jointLAOMP算法中的向前参数L进行优化设置，提出了jointLAVSOMP算法。该算法在jointLAOMP算法的基础上，根据相邻次迭代重构信号的能量差和双重阈值，动态调整向前参数，使向前参数能够根据信号的实际情况进行变步长的增长。这种动态调整的向前参数解决了较小的向前15 燕山大学工学硕士学位论文参数重建效果差而较大的向前参数运行时间长的问题。本章设计的jointLAVSOMP算法的基本思路是：首先，基于初始向前参数L，0利用LAOMP算法求解每个信号的支撑集，然后选出出现次数最多的脚标作为公共支撑集I；然后，以I作为初始支撑集，基于变步长调整的向前参数求解每个信号xccjp的特有支撑集I。在估计出公共支撑集I之后，jointLAVSOMP算法估计特有支撑jc集并重构信号xˆ的主要流程如图3-1所示。为了简化描述并便于与jointOMP算法和jjointLAOMP算法的流程进行比较，本章不失一般性地设稀疏表示基函数矩阵Ψ为单位矩阵，即设信号本身是稀疏的。jointLAVSOMP算法在每次迭代过程中，首先计算观测矩阵中的每个原子与当前残差的内积，选出内积幅值最大的L个原子；然后从L个原子中选出残差最小的一个原子，更新支撑集，并根据当前支撑集更新残差；最后根据当前重构信号与前次迭代重构信号的能量差调整向前参数L。此过程重复进行，直到信号残差小于给定阈值为止。在实验中发现，相邻次迭代重构信号的能量差在最初阶段下降速度很快，随后下降速度逐渐减慢，最后基本稳定在一个很小的范围内。为了提高重建效果且不明p显增加重建时间，jointLAVSOMP算法在构建I的初始阶段，利用大步长调整向前j参数L，从而快速接近最优重建信号；当相邻次迭代重构信号的能量差降低到一定程度之后，改用小步长调整L，从而逐渐准确逼近重建信号；当相邻次迭代重构信号的p能量差或信号残差极小时，认为信号重建基本完成，结束I的迭代构建过程。因此，jjointLAVSOMP算法设置双重阈值、控制向前参数的变步长调整，其中。1212基本规则如下：当相邻次迭代重构信号的能量差xˆxˆ时，以s为步长调kk122整向前参数L，即令LLs；当xˆxˆ时，以s2为步长调整向前参1kk122数L，即令LLs；当xˆxˆ时，不调整向前参数L。2kk121本算法在信号重构过程中根据相邻次迭代重构信号的能量差在初始阶段快速下降、随后下降幅度逐渐减慢、最后趋于稳定的变化趋势，利用双重阈值控制向前参数以变步长的形式逐步增加。这种动态增长的向前参数能够弥补jointLAOMP算法采用固定向前参数值的不足，实现重建效果与运算时间的有效折中。jointLAVSOMP算法求解特有支撑集及重建信号的主要流程如图3-1所示。为了简化描述并便于与jointOMP算法和jointLAOMP算法的流程进行比较，本章不失一般性地设稀疏表示基函数矩阵为单位矩阵，即设信号本身是稀疏的。16 第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法输入：观测矩阵AΦ，观测向量yy，公共支撑集I，完整步长s，步长控制阈值、，迭代jjc12终止控制阈值；0初始化：重构信号xˆ0，残差ryAAy，初始支撑集II，向前参数LL，循环次数k0；0IcIc0c0迭代：do1.kk1；2.P向量ATr中幅值最大的L个元素的索引；k13.fori=1toLrryAIk1PiAIk1Piy；nirr2；end4.largminni:i1,2,...,L；i5.ryAIk1PlAIk1Ply；6.ifrr2k12IkIk1Pl；xˆAykIk；ryAxˆkIkk；ifxˆxˆkk121break；elseifxˆxˆ1kk122LLs2；elseLLs；endelserr；kk1LLs；endwhile(r)k20ˆ输出：支撑集IˆI，重构信号xAy。jkjIk图3-1jointLAVSOMP算法求解特有支撑集及重建信号的基本流程3.2.3jointFBVSOMP算法jointLAOMP算法与前面设计的jointLAVSOMP算法，任何原子只要加入到支撑集中，就不会被移除。若对重构信号贡献不大的原子进入了支撑集，则可能会造成信号重构性能的降低。为了解决这一问题，本节进一步改进jointLAVSOMP算法，提出了jointFBVSOMP算法。该算法在jointLAVSOMP算法的基础上加入了淘汰机制，使得那些已选出的对重构信号贡献不大的原子在迭代的过程中有机会被移除掉。jointFBVSOMP算法是一种包括向前和向后两阶段的贪婪算法。在每次迭代过程中向前阶段选择使残差达到最小的原子加入支撑集。向后阶段每隔一定的迭代次17 燕山大学工学硕士学位论文数，剔除当前支撑集中对重构信号贡献较小的原子，收缩支撑集。当残差能量小于某一阈值时，算法终止。jointFBVSOMP算法的向前过程与jointLAVSOMP算法相同。向后操作的基本思路是：当迭代次数k为正整数n的整数倍时，去除当前支撑集中对重构信号贡献最小的m个原子，即在jointLAVSOMP算法的迭代流程中加入如图3-2所示的步骤7。其中，正整数m和n作为算法输入，且mn。步骤7：ifmodk,n0T向量|xˆ|中幅值最小的m个值对应的索引；kIIT；kkxˆAy；kIkryAxˆ；kIkkend图3-2jointFBVSOMP算法对jointLAVSOMP算法迭代流程的补充jointFBVSOMP算法通过以上步骤每隔一定的迭代次数向后剔除一定数量的原子，收缩支撑集，即该算法在选择原子的过程中，先选择后移除，通过回溯去除了对重构信号贡献较小的原子。3.3实验结果与分析利用Matlab编写仿真程序，测试本章提出的jointLAVSOMP算法和jointFBVSOMP算法的重构性能，并与jointLAOMP算法和jointOMP算法进行比较。这里，以信号重构噪声比(SignaltoReconstructionNoiseRatio,SRNR)和平均支撑势误差(AverageSupportCardinalityError,ASCE)作为衡量算法重构性能的指标。SRNR的定义式为22SRNR=log10Ex2xxˆ2(3-1)式中E{.}——求均值；x——原始信号；xˆ——重构信号。ASCE的定义式为ASCE=Ed(I,Iˆ)=1-E|IIˆ||I|(3-2)式中I——原始信号的支撑集；Iˆ——估计的支撑集。18 第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法本节以符合混合支撑集模型的随机信号作为实验对象。实验参数设置如下：设信号个数J=10，信号长度N=500，信号观测值的数量M根据采样率设置；随机构建cJ个观测矩阵Φ:j1,2,...,J；令信号公共部分的稀疏度K10，特有部分的稀jp疏度K10；设向前参数的初始值L2，完整步长s2；步长控制阈值j01620210、0.4，迭代终止控制阈值310；jointFBVSOMP算法中的m120值和n值分别设为1和4。在每个指定的采样率下，重复运行每个重建算法100次，计算重构信号的平均SRNR值和平均ASCE值。首先，在不考虑噪声影响的情况下，比较jointFBVSOMP、jointLAVSOMP、jointLAOMP和jointOMP四种算法的重建性能。实验中发现，采样率低于0.1时，四种算法的SRNR值均较低；采样率在[0.1,0.2]范围内，四种算法的SRNR值不断提高，逐渐趋于稳定；采样率大于0.2时，四种算法的SRNR值基本稳定，相对大小关系与[0.1,0.2]范围内相同。采样率低于0.1时，四种算法ASCE值的相对大小关系与[0.1,0.15]范围内相同；采样率在[0.1,0.2]范围内，四种算法的ASCE值逐渐降低，直到收敛于0时支撑集达到精确重构；采样率大于0.2时，四种算法的ASCE值均为0。因此，本节利用图3-3和图3-4分别显示出了在采样率[0.1,0.2]范围内四种算法的SRNR值和ASCE值的变化情况。可见，在无噪声的情况下，jointLAVSOMP算法的SRNR值高于jointLAOMP算法和jointOMP算法，ASCE值低于jointLAOMP算法和jointOMP算法。而jointFBVSOMP算法的重构性能又优于jointLAVSOMP算法。3130.830.630.4jojoininttFFBBVVSOAMPP30.2jojoininttLLAAVVSSAOMMPP30jojoininttLLAAOOMMPP值jojoininttOOMMPP29.8SRN29.6R29.429.2290.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图3-3不考虑噪声时四种算法的SRNR值对比19 燕山大学工学硕士学位论文0.70.60.5jojoininttFFBBVVSSOAMMPPjojoininttLLAAVVSSOAMMPPE0.4jojoininttLLAAOOMMPPjojoininttOOMMPPAS0.3C0.20.100.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图3-4不考虑噪声时四种算法的ASCE值对比接下来，在考虑噪声影响的情况下，比较jointFBVSOMP、jointLAVSOMP、jointLAOMP和jointOMP四种算法的重建性能。本节分别在信噪比为15dB、20dB和25dB的情况下进行实验。实验中发现，当信噪比取不同值时，四种算法SRNR值和ASCE值的相对大小关系相同。因此，本节以信噪比SNR=20dB为例，利用图3-5和图3-6分别给出了四种重建算法在采样率[0.1,0.2]范围内的SRNR值和ASCE值的变化情况。可见，在有噪声影响时，jointLAVSOMP算法的重构性能依然优于已有的两种算法，而jointFBVSOMP算法的重构性能优于jointLAVSOMP算法。2.521.5jojioninttFFBBVVSSOAMP值jojioninttLLAAVVSOAMPPRjojioninttLLAAOOMPSjojioninttOOMMPPR1N0.500.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图3-5SNR=20dB时四种算法的SRNR值对比20 第3章面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法0.70.60.5jojionitntFFBBVVSSOAMMPjojionitntLLAAVVSSOAMMP值jojionitntLLAAOOMMP0.4jojionitntOOMMPPASC0.3E0.20.100.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图3-6SNR=20dB时四种算法的ASCE值对比最后，分析jointFBVSOMP、jointLAVSOMP、jointLAOMP算法的求解效率问题。设jointLAVSOMP的向前参数的初始值及迭代结束时的最终值分别为L和L，0max表3-1、3-2给出了在采样率0.12条件下jointFBVSOMP、jointLAVSOMP和jointLAOMP在向前参数分别为L和L时运行时间和SRNR的比较。表3-3、3-4给出0max了在采样率0.12条件下SNR=20db时，四种算法运行时间和SRNR的比较。表3-1无噪声时运行时间的比较L23450jointLAOMP（LL0）1.0721.3121.5171.713jointFBVSOMP4.1894.2053.9684.395jointLAVSOMP3.7814.0913.9584.263jointLAOMP（LL）5.1694.6965.0705.644max表3-2无噪声时SRNR值的比较L23450jointLAOMP（LL0）30.39230.45730.44030.436jointFBVSOMP30.69730.70630.74130.709jointLAVSOMP30.64330.63730.65030.652jointLAOMP（LLmax）30.64730.65830.64230.65821 燕山大学工学硕士学位论文表3-3SNR=20dB时运行时间的比较L23450jointLAOMP（LL）1.0411.2271.5631.7400jointFBVSOMP2.8762.9783.4322.902jointLAVSOMP2.7592.9372.9962.713jointLAOMP（LL）5.1994.8805.8805.770max表3-4SNR=20dB时SRNR的比较L23450jointLAOMP（LL）1.8921.9101.9141.9400jointFBVSOMP1.9781.9571.9571.961jointLAVSOMP1.9651.9511.9181.942jointLAOMP（LLmax）1.9731.9561.9201.948由以上四个表可以得出结论引入变步长思想的jointLAVSOMP算法克服了jointLAOMP（LL）算法重构性能差和jointLAOMP（LL）算法运行时间长的0max问题，在重构性能和运行时间上取得了平衡。而jointFBVSOMP算法不仅具有比jointLAVSOMP算法更好重构性能，而且其运行时间仍小于向前参数为L的jointmaxLAOMP算法。3.4本章小结本章针对混合支撑集模型，研究DCS信号联合重构算法。在jointLAOMP算法的基础上，引入向前变步长策略，提出了jointLAVSOMP算法，克服了jointLAOMP算法性能受固定的向前参数限制的缺陷。进而，在jointLAVSOMP算法的基础上引入了原子淘汰机制，提出了jointFBVSOMP算法，每隔一定的迭代次数，回溯淘汰对重建信号贡献小的原子，使误选的原子有机会被移除，减小因原子误选造成的重构误差。实验结果表明，jointLAVSOMP算法的重构性能明显优于jointLAOMP算法和jointOMP算法，而引入原子去除机制的jointFBVSOMP算法具有比jointLAVSOMP算法更高的重构性能。22 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构4.1引言物联网是当今信息科学领域引起广泛关注。无线传感器网络作为物联网的重要支撑发展迅速。WSN在军事、民用、环境监测等领域具有重要的实际应用价值。然而，传输数据量大、节点能量有限是限制WSN应用的主要因素[37]。如何减少WSN中的数据处理量是一个值得深入研究的问题。DCS理论在利用信号时间、空间相关性的基础上，将适用于单个信号压缩与重构的CS理论，扩展到多个信号，实现了多信号的分布式压缩与联合重构。多观测向量(MultipleMeasurementVector，MMV)问题是DCS理论的一个重要研究方向[38]。该问题解决的是具有相同支撑集的多个稀疏信号的联合重构问题，在WSN中具有重要的应用价值。传感器采集的信号在稀疏基(例如小波基)下通常是块稀疏的[39]，即非零系数是成簇出现的。在标准CS理论下，针对块稀疏信号的重构算法有块正交匹配追踪(BlockOrthogonalMatchingPursuit，BOMP)[40]，基于约束等距的块稀疏匹配追踪算法[41]、非均匀块稀疏信号盲重构算法[42]、块A*正交匹配追踪(BlockA*OrthogonalMatchingPursuit，BA*OMP)[43]空间匹配追踪(subspacematchingpursuit，SMP)算法[44]等。但是，目前针对MMV问题的块稀疏信号的联合重构算法仅有较少文献提及。文献[43]将BA*OMP算法应用于MMV问题，提出了BA*OMPMMV算法。该算法在不需预知信号稀疏度的情况下，实现了基于MMV模型的块稀疏信号联合重构。文献[45]针对块稀疏信号，将SMP算法分别应用到MMV模型和GMMV(generalizedmultiplemeasurementvector)模型中，提出了SMP-MMV算法和SMP-GMMV算法。本章首先针对块稀疏信号的重构问题，以多路径匹配追踪(MultipathMatchingPursuit，MMP)算法[46]为基础，块剪枝多路径匹配追踪(BlockPruningMultipathMatchingPursuit，BPMMP)算法被提出。在迭代过程中用原子块作为路径扩张的节点；在一定迭代层数后，对搜索树进行剪枝操作，阻止一定比例没有希望成为最优解的候选路径继续参加后续迭代；当路径长度达到信号的块稀疏度或候选路径集的最小残差不再减小时停止迭代。该算法利用了块稀疏信号的结构信息；在获得了良好重建效果的同时，极大地降低了数据处理量；既适用于信号块稀疏度已知的情况也适23 燕山大学工学硕士学位论文用于块稀疏度未知的情况。进而，本章在BPMMP算法的基础上，针对MMV问题，提出了MMV块剪枝多路径匹配追踪(BPMMPMMV)算法，用以实现WSN小范围内多传感器信号的联合重构。利用随机信号和英特尔伯克利实验室[47]的WSN实测温度信号进行的实验表明，本章提出的BPMMP算法的重构性能优于MMP算法，BPMMPMMV算法的联合重构性能优于BA*OMPMMV[43]算法和SMP-MMV和OMPMMV(OrthogonalMatchingPursuitforMMV)算法[48]。且其运行时间显著低于BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV。4.2MMV问题和块稀疏信号4.2.1MMV问题MMV问题用于支撑集相同（如JSM2模型）的联合重构。设n个共享支撑集的NnMN稀疏信号构成信号集X=x,...,xR，观测矩阵AR。多观测向量1nMnYy1,...,ynR可表示为：YAX(4-1)其中，x和y分别表示X和Y的第i列，i1,...,n。N和M分别表示每个信号xiii的维数和每个观测向量y的维数。i标准形式的MMV问题[49]如下：minimizeX,s.t.YAX(4-2)X0其中XsuppX，多观测向量Y是满秩的，即rankYnX。00当考虑噪声影响时，MMV模型可表示为：minimizeX,s.t.YAXE(4-3)X0Mn式中ER——观测噪声。4.2.2块稀疏信号在信号处理领域的许多实际应用问题中，稀疏信号中的非零值、零值是成块出现的，称这类信号为块稀疏信号[50,51]。为定义块稀疏，将信号x表示为：Txx,...,x,x,...,x,...,x,...,x(4-4)1dd12dNd1NTTTx[1]x[2]x[P]式中d——块的长度；24 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构P——块的数量；x[p]——第p块，p1,2,...,P，NPd。若x中非零块的个数为K，则称信号x是块K稀疏的。当d1时，块稀疏信号等同于普通的稀疏信号。当对形如式(4-4)所示的块稀疏信号进行压缩感知观测时，对观测矩阵A进行相应划分：TAa,...,a,a,...,a,...,a,...,a(4-5)1dd12dNd1NA[1]A[2]A[P]式中a——A的第i列，i1,2,...,N；iA[p]——A的第p列块，p1,2,...,P。4.3BPMMPMMV算法4.3.1MMP算法MMP算法在CS重构过程中结合组合学方法与贪婪迭代算法求解稀疏信号。该算法用节点代表一个原子，用路径代表用以重构原始信号的候选原子子集(以原子索引集合的形式表示)，将最优路径的搜索问题建模成组合学中的树形搜索问题，并基于贪婪迭代算法实现最优路径的快速搜索。设观测向量yAx，表示由观测矩阵A中所有列向量(原子)的索引构成的集合。在已知信号x稀疏度K的前提下，MMP算法共进行K层搜索。在每层搜索中，为上一层搜索到的每个候选路径扩充一个节点。直到每个候选路径的长度(对应原子子集中原子的个数)均等于K时，迭代停止。k1k1k1k1k1设在第k-1层候选路径集Ss,s,...,s中，候选路径s对应的重建残12uk1ik1k1差为riyAsk1xˆsk1，其中xˆsk1表示由索引集合si对应的原子子集重建的信iiik1k1k1号，i1,2,...,u。MMP算法在第k层迭代中，为每个候选路径sS，从sk1iik1对应的原子集合中选出L个与r相关性最大的原子(设索引为,,...,)，从而将i12Lk1k1尺寸为k-1的路径s扩展成L条尺寸为k的路径s，j1,2,...,L。去除iijk1sij:j1,2,...,L,i1,2,...,uk1中的重复路径，构成第k层候选路径集kkkkSs1,s2,...,su，并计算每个候选路径对应的重建残差。在K层搜索完成之后，kkkkkSs1,s2,...,su中重建残差最小的候选路径即为搜索结果。根据此路径描述的原k25 燕山大学工学硕士学位论文子子集，实现原始信号的重构。文献[46]指出，MMP算法的重构性能优于OMP算法、StOMP算法等现有CS重构算法。4.3.2BPMMP算法BPMMP算法以原子块为单位进行路径扩张。用路径代表重构原始信号的候选原子块集合(以原子块索引集合的形式描述)。结合基于树形结构的路径扩张与贪婪迭代算法，实现重建原始信号的最优原子块集合的快速搜索。在迭代层数达到值之后，对搜索树进行剪枝操作，根据重建残差对当前层搜索到的候选路径进行筛选，去掉1比例没有希望成为最优解的候选路径，使它们不参加后续层的路径扩展，有效减少运算时间与存储空间的浪费。设块稀疏信号x的表示形式如式(4-4)所示，将观测矩阵A表示成如式(4-5)所示的分块形式。令1,2,...,P表示由所有原子块索引构成的集合。本章设计的BPMMPk1k1k1k1算法的具体迭代搜索过程如下。设在第k-1层候选路径集Ss,s,...,s中，12uk1候选路径k1对应的重建残差为rk-1=yAxˆ，其中xˆ表示由sk1对应的原siisk-1sk-1sk1iiiik1k1子块集合重建的信号，i1,2,...,u。在第k层迭代中，为每个候选路径sS计k1ik1k-1算集合s中每个元素p对应的原子块Ap与残差r的相关性，即计算iiTk-1Apri，选出L个相关性最大的原子块(设他们的索引为j，j1,2,...,L)，从2k1k1而将路径s扩展成L条路径s，j1,2,...,L。去除集合iijk1sij:j1,2,...,L,i1,2,...,uk1中的重复路径，构成第k层候选路径集kkkkkkSs1,s2,...,su，并计算每个候选路径si对应的重建残差ri。若k，则进行剪kkk枝操作：根据重建残差r:i1,2,...,u的大小，对候选路径集S进行筛选，从中去ik除重建残差最大的u条候选路径，不让它们参加后续层的路径扩展操作。在已k知信号块稀疏度K的情况下，当第K层迭代完成后，停止迭代。在信号块稀疏度未k知的情况，将候选路径集的最小残差minr不再减小作为迭代停止条件。若迭代ii1,...,uk2lllll在第l层完成后停止，则以当前候选路径集Ss,s,...,s中对应于minr的路12uli1,...,ui2l径作为搜索结果，根据其对应的原子块集合，实现原始块稀疏信号的重构。图4-1以一随机合成信号的重建为例，示意了当L=2、=3、=3时，BPMMP算法前四层迭代的树形搜索结构与剪枝操作。MMP算法和BPMMP算法的计算量均主要集中于观测矩阵与重建残差的乘积。26 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构此矩阵与向量乘积的计算次数取决于迭代层数和每层候选路径的数量，而迭代层数与信号的稀疏度有关。设块稀疏信号x的稀疏度为K、块稀疏度为K，KK。利*用MMP算法与BPMMP算法重建x的平均迭代层数分别为OK和OK。在第kkkk层迭代中k，MMP和BPMMP算法的最大候选路径数分别为L和L(11)。每条候选路径在进行扩张时最多需要MN次乘法运算。可见，MMP算法的复杂度KKK控制在OMNKL以内，而BPMMP算法的复杂度控制在OMNKL(11)以内，明显低于MMP算法。图4-1BPMMP算法树形搜索结构与剪枝操作举例4.3.3BPMMPMMV算法为了求解块稀疏信号的MMV问题，本章在BPMMP算法的基础上，进一步提出了BPMMPMMV算法。该算法利用BPMMP算法的路径扩张与剪枝机制，但针对MMV问题的求解，对原子块选择、信号集重构以及残差更新等操作进行修改。在第k层迭代中，为每个候选路径sk1Sk1选取集合sk1中使得ApTrk1最大的iiiFk1k1L个索引值,...,，从而将路径s扩展成L条路径s，j1,2,...,L。其中，1Liij||||表示Frobenius范数。F与重构单个信号的BPMMP算法不同，为实现信号集的重构，BPMMPMMV算kk法在重构路径s对应的信号集Xˆ时，采用uuXˆkargmin||YAXˆ||(4-6)uXˆskFuk式中Ak——由观测矩阵A中对应路径s的原子块集合组成的矩阵。suu27 燕山大学工学硕士学位论文kkk在更新路径s对应的重构残差r时，将多观测向量Y正交投影到由路径s对应uuu原子块集合组成的列空间的正交补空间上，即计算rkYAXˆkYAAY(4-7)uskuskskuuuHH1式中AkAk(AkAk)——Moore-Penrose广义逆。susususu此外，在求取最小残差路径、剪枝筛选路径、判断迭代停止条件等操作中，BPMMPMMV算法均针对MMV模型，利用Frobenius范数代替了BPMMP算法中的欧几里得范数。表4-1BPMMPMMV算法的伪代码输入：观测矩阵A，所有原子块Ap:p1,2,...,P，原子块索引集合1,2,...,P，多观测向量1,2,...,P，扩张路径数L，剪枝操作开始的层数，剪枝比例10u1，s0=，残差r0Y，u*1初始化：迭代层数k0，S，011迭代：dokk11.kk1，u0，S，rr*u2.fori1touk1Tk1k1最大L个Apri值对应的L个索引p值，psiFforj1toLk1stsij//创建一个临时路径kifstS//检查临时路径是否已经存在uu1ksst//记录路径ukkkSSsu//更新路径集合XˆkAY//路径sk对应的重构信号uskuurkYAXˆk//路径kuskusu对应的重构残差uendifendforendfor3.uku//记录第k层的候选路径数k4.uargminri//求出最小残差路径的序号Fi1,2,...,uk5.ifkkkSS中ri值(i1,2,...,uk)最大的uk条候选路径FkkSSS//删除残差较大的ua条候选路径kkuS//更新第k层的候选路径数kendifkwhile（r*r）//判断是否达到迭代停止条件uFFkss//最优路径uXAY//重构信号集s输出：重构信号集X28 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构4.4实验结果与分析编写仿真程序，分别利用随机合成信号和多传感器的实测温度信号测试本章提出的BPMMP算法和BPMMPMMV算法的重构性能，并分别与MMP算法、BA*OMP算法和OMPMMV算法、BA*OMPMMV算法进行比较。以归一化均方误差(NormalizedMeanSquaredError，NMSE)和准确重构率(AccurateReconstructionRate，ARR)作为衡量算法重构性能的指标。NMSE与ARR的定义式分别为：22NMSEEXˆXX(4-8)FFARREFˆFF(4-9)式中X——原始信号；Xˆ——重构信号；F——原始信号的支撑集；Fˆ——估计的支撑集。NMSE值越小说明信号重构的准确度越高；ARR值越大说明支撑集的重构准确度越高。4.4.1BPMMP算法的性能分析首先以随机块稀疏信号作为实验对象。参数设置如下：原始信号中的非零值服从[0,1]上的均匀分布，信号长度N=500，MMV模型的信号个数n=10，观测值的维数M根据采样率设置，观测矩阵A中的元素符合高斯分布N0,1N，A的每一行均经过归一化处理。合成信号的稀疏度为30，支撑随机分布在5个集中的位置，每个位置支撑的个数是随机的。原子块的大小d4，重叠原子数为2。实验在不同采样率下进行，每个采样率下重复进行500次。以采样率[0.1,0.2]区间为例展示实验结果。图4-2显示了在不考虑噪声影响的情况下，BPMMP算法与MMP、SMP和BA*OMP算法的NMSE值和ARR值的对比情况。表4-2显示了在不考虑噪声影响的情况下，在不同采样率下，BPMMP算法的运行时间分别与BA*OMP算法和SMP算法运行时间的比值。由图4-2可见，在无噪声影响的情况下，与MMP算法相比，BPMMP算法的NMSE值更低、ARR值更高。这说明，与MMP算法相比，BPMMP算法具有更高的重构性能，更适用于块稀疏信号的重建。图4-2还表明，BPMMP算法的重构29 燕山大学工学硕士学位论文性能优于同样适用于重构块稀疏信号的SMP算法，且当采样率大于0.11之后，BPMMP算法的重构性能不低于BA*OMP算法。22BPMPMMPMMMVP算法1.51.5AB*BAOM*POMMMVP算法SSMMPP算法值11MMMPMP算法0.5N0.5M00.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2SE00.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.22采样率1.5110.8值0.50.60A0.40.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2RR0.200.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图4-2无噪声时BPMMP算法与MMP、SMP算法和BA*OMP算法重构性能的比较表4-2无噪声时BPMMP算法运行时间分别与BA*OMP算法和SMP算法运行时间的比值采样率0.100.120.140.160.180.20与BA*OMP运行时2.0211.1990.6830.6390.7660.687间之比与SMP运行时间之1.2901.080.9100.8120.7650.652比以原子块为单位进行路径扩充以及剪枝操作的引入必然使得BPMMP算法的运行时间显著低于MMP算法。表4-2显示了在不考虑噪声影响的情况下，在不同采样率下，BPMMP算法的运行时间分别与BA*OMP算法和SMP算法运行时间的比值。由表4-2可见，在采样率大于0.12之后，BPMMP算法的运算时间低于BA*OMP算法与SMP算法。4.4.2BPMMPMMV算法的性能分析图4-3、图4-4分别显示了在不考虑噪声影响和当SNR=10dB时在采样率[0.1,0.2]范围内BPMMPMMV、BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV和OMPMMV五种算法的NMSE值和ARR值的变化情况。由图4-3、图4-4可见，在无噪声影响或30 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构当SNR=10dB时，对于随机合成的MMV模型块稀疏信号，BPMMPMMV算法的联合重构性能明显优于OMPMMV算法与SMP-MMV算法；在采样率超过0.12之后，BPMMPMMV算法的联合重构性能高于SMP-GMMV算法；在采样率超过0.11之后，BPMMPMMV算法的联合重构性能不低于BA*OMPMMV算法。22BBPMPMMPMMMVPMMV算法1.51.5BBA*AOM*POMMMVPMMV算法SSMMP-MPM-VMMV算法1SMP-GMMV值1SMP-GMMV算法OMPMMV0.5OMPMMV算法0.5N00.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2M02BPMPMVA*BOMPMV0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.21OMPMV00.100.120.140.160.180.20S1.00.50E10.100.120.140.160.180.20采样率0.810.60.8值0.40.60A.2R0.10.40.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2R0.20.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图24-3无噪声时五种算法重构性能的比较2BBPMPMPMMMMVPMMV算法1.5BBA*OAMP*MOMVMPMMV算法1.5SSMPM-MMPV-MMV算法1SMP-GMMV值SMP-GMMV算法OMPMMV10.5OMPMMV算法0N0.50.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2MS2BPMPMVA*BOMPMV1OMPMV100.100.120.140.160.180.20E1.000.500.100.120.140.1600.180.20.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.20.8采样率0.610.40.80.20.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2值0.6AR0.4R0.20.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.2采样率图4-4SNR=10dB时五种算法重构性能的比较在上述5种联合重建算法中，BPMMPMMV算法和BA*OMPMMV算法的重建性能较高。下面在不考虑噪声影响的情况下比较BPMMPMMV算法和31 燕山大学工学硕士学位论文BA*OMPMMV算法的资源消耗。实验中发现，当NMSE值达到10-2时，BPMMPMMV和BA*OMPMMV需要的观测值数量M分别为60和64；当NMSE值达到10-3时，BPMMPMMV和BA*OMPMMV需要的观测值数量分别为64和70；当NMSE值达到10-30时，BPMMPMMV和BA*OMPMMV需要的观测值数量分别为66和76。可见，当BPMMPMMV算法和BA*OMPMMV算法达到相同NMSE值时，前者比后者需要更少的观测值。因此，与BA*OMPMMV算法相比，BPMMPMMV算法能够降低数据采集与传输过程中的能量消耗，减少存储空间占用，节约资源。表4-3、表4-4分别给出了在无噪声影响和当SNR=10dB时，BPMMPMMV算法运行时间分别与BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV算法运行时间的比值。表4-3无噪声时BPMMPMMV与BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV运行时间的比值0.100.120.140.160.180.20采样率与BA*OMPMMV时间之比0.6870.6250.5980.6020.6200.633与SMP-MMV时间之比0.6230.3750.2670.2570.1610.147与SMP-GMMV时间之比0.7360.4380.3350.2680.1380.127表4-4SNR=10dB时BPMMPMMV与BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV运行时间比值采样率0.100.120.140.160.180.20与BA*OMPMMV时间之比0.8640.8940.4460.4610.3640.405与SMP-MMV时间之比0.5450.3570.2750.2330.1470.143与SMP-GMMV时间之比0.5030.4550.3280.2870.1910.120由表4-3、表4-4可见，在不考虑噪声影响和当SNR=10dB时，对于重构随机合成的MMV模型块稀疏信号，BPMMPMMV算法的运行时间明显低于BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV算法。下面采用英特尔伯克利实验室真实传感器网络的实测温度值进行实验。选取小空间范围内的传感器1、2、3、4、6、7、8、9、10和11这十个传感器。将2004.3.132 第4章基于块剪枝多路径匹配追踪的多传感器数据重构到2004.3.7日期内传感器的数据进行采样，经过sym8小波基稀疏表示得到长度为2048的温度信号。将观测矩阵为每一行均经过归一化处理的高斯随机矩阵。分别在不考虑噪声影响和在信噪比SNR=10dB、15dB、20dB的情况下，比较BPMMPMMV、BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV和OMPMMV这5种算法的联合重建性能。表4-5给出了当SNR=10dB时，5种算法NMSE值的对比情况。表4-6给出了当SNR=10dB时，BPMMPMMV算法运行时间分别与BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV算法运行时间的比值。表4-5SNR=10dB时5种算法NMSE值的对比采样率0.100.120.140.160.180.20BPMMPMMV算法0.0710.0510.0320.0260.0250.023SMP-MMV算法0.0780.0610.0370.0290.0270.027SMP-GMMV算法0.0700.0450.0320.0230.0210.021BA*OMPMMV算法0.0920.0690.0330.0270.0260.023OMPMMV算法2.0081.3871.1740.7830.0260.024表4-6SNR=10dB时BPMMPMMV分别与BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV运行时间的比值采样率0.100.120.140.160.180.20BPMMPMMV运行时间/0.1420.1010.0600.0430.0680.063BA*OMPMMV运行时间BPMMPMMV运行时间/0.0260.0200.0140.0130.0130.012SMP-MMV运行时间BPMMPMMV运行时间/0.0540.0150.0140.0130.0120.010SMP-GMMV运行时间由表4-5可见，当SNR=10dB时，对于重构实际WSN测得的温度信号，适用于重构块稀疏信号的BPMMPMMV、BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV算法的联合重构性能明显优于OMPMMV算法。比较BPMMPMMV、BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV4种算法可见，BPMMPMMV算法的联合重构性能优于BA*OMPMMV和SMP-MMV算法，而与SMP-GMMV算法基本相当。然而，SMP-GMMV算法采用的是GMMV模型，即对不同信号采用不同的观测矩阵，因此33 燕山大学工学硕士学位论文会增加观测矩阵存储与传输的成本。由表4-6可见，当SNR=10dB时，对于重构实际WSN测得的温度信号，BPMMPMMV算法的运行时间远远低于BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV算法。在无噪声影响、SNR=15dB、20dB等情况下进行的实验也得到了相同的结论。由上述实验结果可见，从联合重构性能与运行时间两方面综合考虑，与BA*OMPMMV、SMP-MMV、SMP-GMMV和OMPMMV算法相比，BPMMPMMV算法更适用于实现WSN小范围内多传感器采集信号的联合重构。4.5本章小结本章针对MMP算法不能利用信号的块稀疏结构且迭代次数较多时产生极大数据量的问题，提出了BPMMP算法，在获得良好重建效果的基础上，极大地降低了运行时间。进而，针对MMV问题进一步改进，提出了适用于在MMV模型下重构块稀疏信号的BPMMPMMV算法。利用合成信号与IntelBerkeleyResearchLab实际WSN测得的温度信号进行的仿真实验表明，BPMMPMMV算法具有优于BA*OMPMMV、SMP-MMV和OMPMMV算法的联合重构性能，并且其运行时间显著低于BA*OMPMMV、SMP-MMV和SMP-GMMV算法，更适用于WSN小范围内多传感器采集数据的联合重构。34 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知5.1引言近年来，WSN已被广泛应用于军事、医疗、工业生产和环境监测等领域。在以数据为中心的网络，为WSN寻求高效的数据采集与传输技术，尽可能地节省传感器节点的能量，提高WSN的数据汇聚效率，延长WSN的工作寿命，已成为当前WSN领域的研究热点。CS具有压缩复杂度低、压缩性能优异以及编解码相互独立等显著特点，因此在资源受限的WSN中能够有效减少数据采集和降低传输带宽。分布式压缩感知是在联合稀疏的前提下，研究多个信号的联合重构。在WSN中应用DCS，不但能够利用单个传感器节点采集数据的时间相关性，还能利用多传感器节点采集数据间的空间相关性，降低所需的采样点数，减少网络中的数据传输量。有效的分簇结构能够提高WSN的资源利用率、降低路由复杂度、增强网络稳定性[52,53]。分簇WSN中，每个簇通常由一个簇头节点和多个成员节点组成。一般情况下，成员节点计算、通信能力和携带的能量有限，只负责采集数据。簇头具有较强的计算、通信能力，收集并处理簇内成员节点采集的数据。分簇WSN中簇头接收到数据后进行融合处理，将处理结果以多跳路由的方式转发给Sink节点。这种信号获取方式传送数据量大、通信能耗大。若在分簇WSN中应用CS/DCS技术，在簇成员节点压缩采样，将少量的稀疏采样值发送给簇头，则能在不丢失信息的前提下，降低簇成员与簇头传送数据的能量消耗、均衡网络负载、延长网络的生命周期。文献[54,55]利用CS消除分簇WSN中簇内成员采集数据的空间冗余。文献[56]利用CS技术收集时间和空间相关的压缩数据，基于分簇路由的方法减少数据传输的能量消耗。文献[57]在混合CS模型下研究簇的大小和传输数据量的关系，提出基于混合CS的WSN分簇数据收集方案。文献[58]结合CS和分层路由收集分簇WSN采集的数据，以减少采样值的数量，降低能量消耗。文献[59]利用簇成员间感知数据的空间相关性，基于DCS对分簇WSN的感知数据进行压缩与重构。文献[60]基于DCS联合挖掘簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性，减少准确重构所需的采样点数，获得更高的压缩效率。文献[61]设计了一种分簇式压缩感知算法，基于簇头产生的随机序35 燕山大学工学硕士学位论文列对簇成员进行压缩采样，在保证信息准确度的情况下，降低了网络的通信能耗。然而，现有研究成果主要应用CS/DCS技术实现分簇WSN中簇内成员采集数据的压缩。实际上，在同一监测区域内，不但簇内成员采集的数据间具有相关性，相邻簇间也具有很强的空间相关性，如果能够基于簇间相关性对同一监测区域内各簇簇头基于CS/DCS采集到的数据继续进行压缩，则有望进一步降低簇成员与簇头的通信负担，延长网络的工作寿命。针对这一问题，本章面向分簇WSN，研究层次化DCS。建立簇内JSM联合描述簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性，建立簇间JSM描述同一监测区域内各簇采集数据的空间相关性，并在此基础上提出层次化DCS观测方案，以及基于WSN采集信号结构化稀疏特征的层次化DCS重构方案。在保证信息传输质量的同时，尽可能减少簇成员采集与簇头转发的数据量，降低簇成员与簇头的通信能耗，延长WSN的工作寿命。5.2层次化模型设WSN在某监测区域内布置了L个簇，其中第i个簇用C表示，其簇头用H表ii示，i1,2,...,L。簇C内有J个成员节点，其中第j个节点用S表示，j1,2,...,J。iii,ji设节点S单位时间内采集到的数据用N维列向量x表示。由分簇WSN的结构特i,ji,j性可知，x内部元素间具有时间相关性，簇C内成员节点采集的数据i,jixi,j:j1,2,...,Ji间具有空间相关性，该监测区域内不同簇采集的数据xi,j:j1,2,...,Ji:i1,2,...,L间同样具有空间相关性。NMNM根据CS理论，若将信号xR投影到观测矩阵ΦR上，则观测向量yR可以表示为yΦxΦψθΑθ(5-1)NNN其中，MN，ψR和θR分别为表示信号x的稀疏基与稀疏系数向量，ΑΦψ为传感矩阵。在实际WSN中，传感器采集的数据x在用稀疏基ψ(例如小波基)表示时，其稀疏系数向量θ中的显著系数通常是成块出现的，即可以看作是块稀疏的。为了描述块稀疏，将θ表示为系数块的级联，即Tθ,...,,,...,,...,,...,(5-2)1dd12dNd1NTTTθ[1]θ[2]θ[B]36 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知式中d——块长度；B——块数量，θ[b]表示第b块，b1,2,...,B，NBd。若θb:b1,2,..,B中最多有K个块的l范数非零，则称信号x在稀疏基ψ上是2块K稀疏的。当a时，块稀疏信号等同于普通的稀疏信号。i当对块稀疏信号进行压缩感知观测时，对传感矩阵A也进行相应划分：Aa,...,a,a,...,a,...,a,...,a(5-3)1dd12dNd1NA[1]A[2]A[B]式中a——A的第i列；iA[b]——A的第b列块(或称为原子块)，b1,2,...,B。令1,2,...,B，块索引集合I,,...,。在下文中，θ[I]表示由块12ITTTTθ[],θ[],...,θ[]级联成的向量θ[],θ[],...,θ[]，A[I]表示由列块12I12IA[],A[],...,A[]级联成的矩阵A[],A[],...,A[]。矩阵A的Moore-Penrose12I12I††HH1广义逆用A表示，AA(AA)。5.3层次化分布式压缩感知JSM的建立是DCS理论研究中的一个关键问题。本章基于实际WSN中传感器采集数据的块稀疏特性，构建簇内JSM与簇间JSM，并在此基础上研究层次化DCS及其重构算法。5.3.1簇内DCS为了降低簇内成员节点采集与传输的数据量，首先研究簇内DCS。本章在JSM-1的基础上，针对传感器采集数据的分块稀疏特性，建立块稀疏簇内JSM，描述簇内成员节点监测数据的空间相关性。将簇C内每个成员S监测的数据x建模成公共ii,ji,j成分与特有成分之和的形式，即将x表示为i,jcpcpxzzψuψu(5-4)i,jii,jintraiintrai,jcp其中，zi表示簇Ci内成员节点监测数据xi,j:j1,2,...,Ji的公共成分，zi,j表示cc成员S监测数据的特有成分，ψ表示簇内稀疏表示基，u表示z在ψ上的稀疏i,jintraiiintrappcp表示系数向量，u表示z在ψ上的稀疏表示系数向量。u和u具有独立的非零i,ji,jintraii,jcpcc块，非零块分别分布在公共支撑集I和特有支撑集I上。公共块稀疏度KI，ii,jii37 燕山大学工学硕士学位论文ppc特有块稀疏度KI。与原始监测数据x:j1,2,...,J相比，系数向量u与i,ji,ji,jiipui,j:j1,2,...,Ji更稀疏。簇C内的每个成员节点S对其监测数据x进行独立的簇内DCS压缩观测。设ii,ji,jMNMNΦR表示观测矩阵，则观测向量yR可以表示为i,ji,jcpyΦxΦψuψuΑu(5-5)i,ji,ji,ji,jintraiintrai,ji,ji,jcp其中，MN，传感矩阵ΑΦψ，系数向量uuu。簇C内的每个成i,ji,jintrai,jii,ji员S向簇头H传输观测向量y。i,jii,j5.3.2簇间DCS在现有的DCS方案中，簇头H接收到的观测数据y:j1,2,...,J一般采用多ii,ji跳路由的方式经由其它簇头向Sink节点汇聚。Sink节点在接收到y:j1,2,...,Ji,ji之后，独立重构簇C的监测数据xˆ:j1,2,...,J，i1,2,...,L。然而，在同一监ii,ji测区域内，相邻簇基于簇内DCS采集到的数据间仍然具有一定的空间相关性，若能对它们继续进行压缩，则有望进一步降低网络中的数据传输量。据此，本节研究簇间DCS，令簇头对重构的簇内公共成分与成员特有成分进行簇间DCS观测，利用簇间相关性进一步减轻簇头的通信负担。(1)簇内公共成分的重构c簇头H在接收到y:j1,2,...,J之后，重构簇内公共成分系数向量uˆ与成员ii,jiip特有成分系数向量uˆ:j1,2,...,J。本章修改了BOMP算法，并在此基础上，针i,ji对本章构建的块稀疏簇内JSM，设计了联合块稀疏正交匹配追踪(jointBOMP)算法，该算法的伪代码如表5-1所示。若以簇C内成员采用的传感矩阵Α:j1,...,J及ii,ji它们划分出的原子块集合Α[b]:b:j1,...,J、原子块索引集1,...,B、i,jic观测向量yΑu:j1,...,J、公共块稀疏度K、特有块稀疏度i,ji,ji,jiipKi,j:j1,...,Ji作为输入，则jointBOMP算法能够重构出簇Ci的簇内公共成分系cp数向量uˆ与成员特有成分系数向量uˆ:j1,2,...,J。ii,ji本节在修改BOMP算法基础上，针对本章构建的块稀疏簇内JSM，设计了联合块稀疏正交匹配追踪(jointBOMP)算法。jointBOMP算法的伪代码如表5-1所示。若以簇内成员采用的传感矩阵Α及它们划分出的原子块集合Α[b]:b、原子块索cp引集、观测向量y、公共块稀疏度K、特有块稀疏度K:j1,...,J作为输入，j38 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知则jointBOMP算法能够重构出簇内公共成分系数向量与成员特有成分系数向量。表5-1jointBOMP算法的伪代码输入：传感矩阵Αj:j1,...,J及它们划分出的原子块Αj[b]:b:j1,...,J，原子块索引集合1,...,B，yΑujJ，公共块稀疏度Kc，特有块稀疏度p1观测向量jjj:1,...,Kj:j,...,Jcc初始化：迭代次数k0，公共支撑集I0，公共系数向量u00N1；迭代：cwhilekKk=k+1p0//初始化一个B1的零向量，用以统计原子块索引1,2,...,B在各信号支撑集中出现的次数B1cuk0N1//初始化第k次迭代计算出的公共系数向量forj1toJ*cpKKKjjccuˆj,Iˆj,njBOMPΑj,Αj[b]:b,,Kj,yj,Ik1,uk1//用BOMP算法重构信号uˆj与支撑集Iˆj，nj描述重构残差padd1p,Iˆj//将支撑集Iˆj中出现的元素在p中对应位置处的元素值加1endforcIkmax_indicesp,k//以p中最大的k个元素对应的索引构成公共支撑集jargminnj//确定重建残差最小的信号序号，用以根据此信号构建公共系数向量jucIcuˆIc//根据重构信号uˆ设置公共支撑集对应的系数kkjkjccuI0//将非公共支撑集对应的系数清零kkendwhileccuˆu//公共系数向量kccII//公共支撑集kforj1toJ*cpKKKjjuˆ,Iˆ,nBOMPΑ,Α[b]:b,,K*,y,Ic,uˆc//根据公共系数向量与公共支撑集重构各信号jjjjjjjˆpˆˆcuuu//将系数向量中对应于公共支撑集的位置清零，求出特有系数向量jjendforcp输出：重构的公共系数向量uˆ，特有系数向量uˆj:j1,2,...,J。(2)簇间JSM为了能够利用簇间相关性进一步降低簇头需要向Sink节点转发的数据量，本章构建簇间JSM，描述同一监测区域内L个簇簇内公共成分间的空间相关性。实验中39 燕山大学工学硕士学位论文发现，簇头重建的簇内公共成分系数向量与成员特有成分系数向量仍然具有分块稀疏特性。据此，本章在混合支撑集模型(Mixedsupport-setmodel)的基础上构建块稀疏c簇间JSM，描述同一监测区域内L个簇簇内公共成分系数向量uˆ:i1,2,...,L的相ic关性，即将uˆ表示为ic(c)(p)c(c)c(p)uˆvvψθψθ(5-6)iiiinteriinteri(c)式中v——簇间公共成分；i(p)v——簇C的特有成分；iicψ——簇间公共成分的稀疏表示基。inter其中，簇间公共成分系数向量(c)I(c)上的(c)个非零块，簇间θ具有分布在支撑集Ki(c)(p)(p)(c)特有成分系数向量θ具有分布在支撑集I上的K个非零块。对于不同簇，I相iii(c)(p)(p)同，θ、θ和I均不同。iii(3)簇间DCS观测簇头cH分别对其基于簇内DCS重建的簇内公共成分系数向量uˆ与成员特有成iipcc分系数向量uˆ:j1,2,...,J进行簇间DCS观测。设Φ表示MN维公共成分簇i,jiipp间DCS观测矩阵，Φ表示MN维特有成分簇间DCS观测矩阵，则簇间公共观i,ji,jcp测向量w和簇间特有观测向量w可分别表示为ii,jcccwΦuˆ(5-7)iiipppwΦuˆ，j1,2,...,J(5-8)i,ji,ji,ji根据如式(5-6)所示的簇间JSM，簇间公共观测向量cw可进一步表示为iccccc(c)c(p)cwΦuˆΦψθψθAθ(5-9)iiiiinteriinteriiip簇间特有观测向量w也可以进一步表示为i,jppppp(p)p(p)wΦuˆΦψθAθ，j1,2,...,J(5-10)i,ji,ji,ji,jinteri,ji,ji,ji(p)(p)ppp其中，系数向量θ有K个非零块，传感矩阵AΦψ。i,ji,ji,ji,jinter与普通DCS方案中簇头H直接发送成员节点观测数据y:j1,2,...,J不同，ii,jic在本章设计的层次化DCS方案中，簇头Hi将其生成的簇间DCS观测数据wi和pwi,j:j1,2,...,Ji以多跳路由的方式经由其它簇头向Sink节点汇聚。与普通DCSc方案发送的数据量y:j1,2,...,J相比，层次化DCS方案中w和i,jiipwi,j:j1,2,...,Ji的数据量更低。40 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知5.3.3层次化DCS重构cSink节点在接收到L个簇的簇间DCS观测数据w:i1,2,...,L和ipwi,j:j1,2,...,Ji:i1,2,...,L之后，基于层次化DCS重构各簇采集数据xˆi,j:j1,2,...,Ji，i1,2,...,L。首先，根据接收到的簇间公共观测向量wc:i1,2,...,L，基于簇间JSM重建簇间公共成分系数向量θˆ(c):i1,2,...,L和簇间ii特有成分系数向量θˆ(p):i1,2,...,L，进而重构出L个簇的簇内公共成分系数向量iuˆˆcψcθˆ(c)ψcθˆ(p):i1,2,...,L，获得L个簇采集的基本信息iinteriinterizˆcψuˆˆc:i1,2,...,L。然后，基于接收到的簇间特有观测向量piintraiwi,j:j1,2,...,Ji，重构簇C内各成员的特有成分系数向量uˆˆpψpθˆ(p):j1,2,...,J，获得簇C内成ii,jinteri,jii员采集数据的细节信息zˆpψuˆˆp:j1,2,...,J，i1,2,...,L。最后，基于簇内i,jintrai,jiJSM，根据uˆˆc和uˆˆp:j1,2,...,J重构簇C内成员采集的数据ii,jiixˆzˆczˆpψuˆˆcψuˆˆp:j1,2,...,J，i1,2,...,L。i,jii,jintraiintrai,ji为了实现簇内成员特有成分系数向量uˆˆp:j1,2,...,J的重构，本章在MMPi,ji算法的基础上，利用上一章的BPMMP算法，利用块稀疏信号的结构信息，用路径代表重构原始信号的候选原子块集合，并以原子块为单位进行路径扩张。结合基于树形结构的路径扩张与贪婪迭代算法，实现重建原始信号的最优原子块集合的快速搜索。针对MMP算法高迭代层产生的大量无望成为最优解的候选路径浪费大量运算时间与数据存储空间的问题，BPMMP算法引入了搜索树剪枝操作。在一定迭代层数之后，根据重建残差对当前层搜索到的候选路径进行筛选，去掉一定比例没有希望成为最优解的候选路径，使它们不参加后续层的路径扩展，从而有效减少运算时间与存储空间的浪费。该算法共进行K层迭代搜索。第k层搜索将第k1层候选路径集k1k1P中的每条路径p(尺寸为Ik1，i1,2,...,u)扩展成H条尺寸为Ik的路径。iinikini根据如式(5-10)所示的成员特有成分系数向量的观测过程，基于BPMMP算法输出的θˆ(p)重构出簇C内传感器S监测数据的特有成分系数向量uˆˆpψpθˆ(p)。BPMMP算法i,jii,ji,jinteri,j的伪代码如表5-2所示。该算法共进行K层迭代搜索。第k层搜索将第k1层候选路k1k1径集P中的每条路径p(尺寸为Ik1，i1,2,...,u)扩展成H条尺寸为iinikIk的路径。根据如式(5-10)所示的成员特有成分系数向量的观测过程，若以传感inipp矩阵A及其划分出的所有原子块Ab:b、原子块索引集合1,2,...,B、i,ji,j41 燕山大学工学硕士学位论文pp(p)(p)观测向量wAθ、稀疏度K、初始支撑集I、扩张路径数H、剪枝操i,ji,ji,ji,jini作开始的层数、剪枝比例1作为输入，则可基于BPMMP算法输出的θˆ(p)重构出i,j簇C内传感器S监测数据的特有成分系数向量uˆˆpψpθˆ(p)。ii,ji,jinteri,j表5-2BPMMP算法的伪代码输入：传感矩阵A及其划分出的所有原子块Ab:b，原子块索引集合1,2,...,B，观测向量y，最大迭代层数K，初始支撑集Iini，扩张路径数H，剪枝操作开始的层数，剪枝比例1；*初始化：迭代层数k0，第0层候选路径数u01，最优路径标号u1ifIini000第0层候选路径集P，候选路径p1=，残差r1yelse000†第0层候选路径集PIini，候选路径p1=Iini，残差r1yAIiniAIiniyendifwhilekKkk1，ku0，Pfori1touk1Tk1k1最大H个Abri值对应的H个索引b值，bpi2forj1toHk1ptemppij//创建一个临时路径kpP//检查临时路径是否已经存在iftempuu1kpp//记录路径utempkkkPPpu//更新路径集合†θˆkApky//路径kuupu对应的重构信号rkyApkθˆk//路径kuuupu对应的重构残差endifendforendforuu//记录第k层的候选路径数kkuargminr//求出最小残差路径的序号i2i1,2,...,ukifkkkPP中ri值(i1,2,...,uk)最大的uk条候选路径2kkPPP//删除残差较大的uka条候选路径kuP//更新第k层的候选路径数kendifendwhileIˆpk//最优路径*u†θˆAIˆy//重构信号集输出：重构信号θˆ，支撑集Iˆ。42 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知进一步，本章在BPMMP算法的基础上，针对块稀疏簇间JSM，设计了联合BPMMP(jointBPMMP)算法，用以实现同一监测区域内L个簇簇内公共成分系数向量uˆˆc:i1,2,...,L的联合重构。jointBPMMP算法的伪代码如表5-3所示。根据如式i(5-9)所示的簇内公共成分系数向量的簇间观测过程，若以传感矩阵ccAi:i1,2,...,L及它们划分出的所有原子块Aib:b:i1,2,...,L、原子块cc索引集合1,2,...,B、观测向量wiAiθi:i1,2,...,L、簇间公共块稀疏度(c)K(p):i,...,L、扩张路径数H、剪枝操作开始的层数K、各簇特有块稀疏度i1和剪枝比例1作为输入，则基于jointBPMMP算法输出的θˆ:i1,2,...,L即可i重构出L个簇的簇内公共成分系数向量uˆˆcψcθˆ:i1,2,...,Liinteri。表5-3jointBPMMP算法的伪代码输入：传感矩阵Ai:i1,...,L，所有原子块Ai[b]:b:i1,...,L，原子块索引集合1,2,...,B，观测向cp量yiAiθi:i1,...,L，公共成分块稀疏度K，特有成分块稀疏度Ki:i1,...,L，扩张路径数H，剪枝操作开始的层数，剪枝比例1。(c)初始化：迭代次数k0，公共支撑集I0；c迭代：whilekKk=k+1p0B1//初始化一个B1的零向量，用以统计原子块索引1,2,...,B在各信号支撑集出现的次数fori1toLcp(c)KKKIiik1θˆ,IˆBPMMPΑ,Α[b]:b,,y,K,I(c),H,,//用BPMMP算法重构信号iiiijik11θˆi与支撑集Iˆipadd1p,Iˆi//按照支撑集Iˆi将p中对应位置的元素值加1endfor(c)Ikmax_indicesp,k//以p中最大的k个元素对应的索引构成公共支撑集endwhileIˆcI(c)k输出：重构系数θˆ:i1,2,...,L，支撑集Iˆ:i1,2,...,L，公共支撑集Iˆc。iiSink节点在基于jointBPMMP算法重构出簇内公共成分系数向量uˆˆcψcθˆ:i1,2,...,L、基于BPMMP算法重构出簇内特有成分系数向量iinteri43 燕山大学工学硕士学位论文uˆˆpψpθˆ(p):j1,2,...,J:i1,2,...,L之后，根据xˆψuˆˆcψuˆˆp:j1,2,...,J即可完i,jinteri,jii,jintraiintrai,ji成L个簇采集信号xˆi,j:j1,2,...,Ji:i1,2,...,L的重构。5.4实验结果及分析编写Matlab仿真程序，分别利用随机合成信号和IntelBerkeleyResearchLab真实WSN测得的温度信号测试本章提出的层次化DCS方案的重构性能，并与只进行簇内压缩、不考虑簇间相关性的普通DCS方案进行比较。实验在本章设计的层次化DCS方案进行两组方案1、2和仅进行簇内观测与重构的普通DCS方案下分别进行。其中，层次化DCS方案1利用本章设计的jointBPMMP算法实现簇内和簇间重构，层次化DCS方案2利用本章设计的jointBOMP算法实现簇内和簇间重构，普通DCS方案采用jointBOMP算法进行重构。设WSN同一监测区域内的L个簇中各包含J个成员节点，每个成员节点单位时间内采集信号的长度为N。在本章设计的层次化DCS方案中，簇内DCS为每个成cp员节点生成M个观测值，簇间DCS为每个簇生成M个簇间公共成分观测值和JM个簇间特有成分观测值。因此，L个簇头需要向Sink节点发送的总数量为cpDMLMJL。若采用普通DCS方案，仅进行簇内DCS，则L个簇头需要向hierSink节点发送的总数量为DMJL。两者数据量之比为：gencpcpDhierDgenMLMJLMJLMMJMM(5-11)与原始数据x:j1,2,...,J相比，层次化DCS在簇头重构的簇内公共系数向i,jcpc量uˆi与各簇特有系数向量uˆi,j:j1,2,...,J更稀疏，因此一般情况下MM且pMM。本章在数据量之比1的情况下，比较层次化DCS与普通DCS的重建效果；在采样率相同、重建效果相同的情况下，通过计算值比较层次化DCS与普通DCS需要在网络中传输的数据量。这里，以NMSE作为衡量算法重构性能的指标。实验在每个指定采样率下重复进行100次。5.4.1基于合成信号的层次化DCS与普通DCS算法对比以随机构建的块稀疏信号作为实验对象。设网络包含6个簇，每个簇内有20个传感器节点，信号长度N=600。随机构建每个传感器节点采集的信号，令块长度d4、簇内公共成分的块稀疏度为4、特有成分的块稀疏度为4、簇间公共成分块稀疏度为44 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知4，非零值服从[0,1]上的均匀分布。随机构建簇内DCS观测矩阵Φ与簇间DCS观i,jcp测矩阵Φ、Φ，使其中元素符合高斯分布N0,1/N，且每一行均经过归一化处理。ii,jcp由于合成信号本身是稀疏的，因此令稀疏表示基ψ、ψ和ψ均为单位矩阵。intrainterinter实验在本章设计的HDCS方案和普通DCS方案下分别进行。在普通DCS方案中，簇头仅进行转发操作，簇内成员节点的观测与Sink节点的重构采用与本章HDCS方案中的簇内观测与簇内重构相同的方法，即成员节点对监测数据进行随机观测，Sink节点基于本章设计的jointBOMP算法独立重构各簇采集的数据。HDCS采用三种不同的实现方案。方案1利用jointBOMP算法实现簇内、簇间重构；方案2利用jointBOMP算法实现簇内重构、利用jointBPMMP算法实现簇间重构；方案3利用jointBPMMP算法实现簇内、簇间重构。与普通DCS方案相比，HDCS方案1增加了簇间观测与重构，用以验证本章提出的簇内、簇间两级观测与重构的效果。与HDCS方案1相比，方案2利用jointBPMMP算法实现簇间重构，用以比较jointBOMP算法与jointBPMMP算法的簇间重构性能。与HDCS方案2相比，方案3利用jointBPMMP算法实现簇内重构，用以比较jointBOMP算法与jointBPMMP算法的簇内重构性能。这里，方案1需要根据簇间JSM对用于簇间重构的jointBOMP算法进行修改：采用与jointBPMMP算法相同的流程，不再限制各重构信号的公共系数向量相同；在重构每个信号时，调用不含输入项u的BOMP算法，采用与BPMMP算ini法相同的方式初始化残差。同样，方案3需要根据簇内JSM对用于簇内重构的jointBPMMP算法进行修改：采用与jointBOMP算法相同的流程，限制各重构信号的公共系数向量相同；在重构每个信号时，调用修改的BPMMP算法，引入输入项u，ini采用与修改的BOMP算法相同的方式初始化残差。图5-1、图5-2以采样率[0.12,0.3]区间的实验结果为例比较HDCS方案1、方案2、方案3与普通DCS的性能。图5-1显示了当1(即簇头传输数据量相同)时，四种方案在相同采样率下的NMSE值对比情况。由图5-1可见，随着采样率的增加，四种方案的NMSE值均逐渐降低。在相同采样率下，HDCS三种方案的NMSE值要低于普通DCS，且HDCS方案3的NMSE值低于方案2，方案2的NMSE值低于方案1。这说明，当网络中簇头传输数据量相同时，HDCS具有优于普通DCS的重建性能，而且HDCS方案3的重建性能优于方案2，方案2的性能优于方案1，即本章设计的jointBPMMP算法具有优于jointBOMP算法的簇内、簇间重建性能。下面，在采样率相同、重建效果相同的情况下，比较HDCS方案与普通DCS需45 燕山大学工学硕士学位论文3要在网络中传输的数据量。图5-2显示了在相同采样率下，NMSE值均达到10时，HDCS三种方案在网络中传输的数据量分别相对于普通DCS需要在网络中传输的数据量的归一化值，即值。由图5-2可见，在达到相同的NMSE值时，HDCS方案需要在网络中传输的数据量明显低于普通DCS。而且，随着采样率的增加，HDCS方案与普通DCS需传输的数据量之比逐渐降低。例如，当采样率为0.3时，HDCS方案1、方案2、方案3需要在网络中传输的数据量为普通DCS的73.5%、60.2%、57.6%。0.7普普通通DDCSCS0.6HHDCCSS方方案1案1HHDDCCSS方方案2案20.5HHDDCCSS方方案3案3值0.40.3NMSE0.20.100.120.140.160.180.20.220.240.260.280.3采样率图5-1合成数据实验中数据量相同时四种方案的NMSE值比较10.95HHDDCSS方方案案11HHDDCSS方方案案220.9HHDDCSS方方案案330.850.80.750.7方案簇0.65D头C发S0.6送与数0.55普0.120.140.160.180.20.220.240.260.280.3据通量采样率之比图5-2合成数据实验中当NMSE=10-3时HDCS三种方案的簇头发送数据量与普通DCS的簇头发送数据量之比46 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知5.4.2基于温度信号的层次化DCS与普通DCS算法对比采用英特尔伯克利实验室真实传感器网络的实测温度值进行实验。选取小空间范围内的传感器1到30这三十个传感器，将传感器1~5、6~10、11~15、16~20、21~25、26~30组成六个簇。将2004.03.01-2004.03.07日期内传感器温度数据采样，数据长度cp为2048。选取sym8小波基作为ψ、ψ和ψ，将簇内DCS观测矩阵Φ与簇intrainterinteri,jcp间DCS观测矩阵Φi、Φi,j是每一行经过归一化处理的高斯矩阵。0.012普普通通DCCSS0.01HHDDCSS方方案案11HHDDCCSS方方案案22HHDDCCSS方方案案330.008值0.006NMS0.004E0.00200.120.140.160.180.20.220.240.260.280.3采样率图5-3实际数据实验中数据量相同时四种方案的NMSE值比较1HHDDCCS方S案方1案10.9HHDDCCS方S案方2案2HDDCCS方S案方3案30.8数据量之0.7比方0.6案簇D头C0.5S发送与0.4普0.120.140.160.180.20.220.240.260.280.3通采样率图5-4实际数据实验中当NMSE=10-3时HDCS三种方案的簇头发送数据量与普通DCS的簇头发送数据量之比47 燕山大学工学硕士学位论文图5-3、图5-4以采样率[0.12,0.3]区间的实验结果为例比较HDCS与普通DCS的性能。图5-3显示了当时，HDCS方案1、方案2、方案3和普通DCS在相同采样率下获得的NMSE值的对比情况。图5-4显示了达到相同的NMSE值时，HDCS三种方案需要在网络中传输的数据量分别相对于普通DCS需要在网络中传输的数据量的归一化值。由图5-3可见，当簇头传输数据量相同时，HDCS方案的NMSE值低于普通DCS，即HDCS具有优于普通DCS的重建性能。由图5-4可见，当获得相同的NMSE值时，HDCS方案需要在网络中传输的数据量要显著低于普通DCS，而且随着采样率的增加，相对值越来越小，即采样率越高，HDCS节约传输数据量的优势越明显。例如，当采样率为0.3时，HDCS方案1、方案2、方案3需要在网络中传输的数据量仅为cp普通DCS方案的77.1%、53.5%和42.2%。此外，由式(5-12)可知，当M、M、M的值固定时，簇内成员节点个数J越大，的值越小。可见，本章提出的HDCS方案更适用于密集部署的分簇WSN。最后，比较HDCS方案与普通DCS方案在Sink节点上的重构时间。表5-4、表5-5分别展示了在采用合成数据与实际数据进行的实验中，当时，在部分采样率下，HDCS方案1、方案2在Sink节点的重构时间与普通DCS方案重构时间的比值。HDCS方案3采用的簇间重构算法与方案2相同，因此其在Sink节点上的重构时间与方案2相同。表5-4合成数据实验中HDCS方案与普通DCS重构时间之比采样率0.140.180.220.260.30HDCS方案10.03300.03540.03670.03740.0412HDCS方案20.27070.29600.31830.34000.3750表5-5实际数据实验中HDCS方案与普通DCS重构时间之比采样率0.140.180.220.260.30HDCS方案10.00850.00970.01100.01220.0131HDCS方案20.28200.29300.31200.34500.3730由表5-4、表5-5可见，HDCS方案2的重构时间高于方案1，即jointBPMMP48 第5章面向无线传感器网络的层次化分布式压缩感知算法的运行时间高于jointBOMP算法。更重要的是，由表5-4、表5-5可见，HDCS方案在Sink节点的重构时间显著低于普通DCS。这主要是因为，普通DCS需要在Sink节点上基于联合重构算法独立重构每个簇采集的数据{xˆ:j1,2,...,J}。重建i,jiL个簇采集的数据共需要运行L次联合重构算法。然而，HDCS方案在Sink节点仅{uˆˆc:i1,2,...,L}时需要利用联合重构算法，在重构L个簇的簇内公共成分系数向量i{uˆˆp:j1,2,...,J,i1,2,...,L}时仅需利用而在重构各簇簇内成员特有成分系数向量i,ji单信号重构算法。而且，HDCS的层次化观测结构使得{uˆˆc}、{uˆˆp}比{xˆ}更稀疏。ii,ji,j综合上述仿真实验结果可见，与普通DCS相比，本章提出的HDCS方案在保证重建信号质量的同时，能够明显降低分簇WSN中簇头的数据传输量，并显著降低Sink节点上的信号重构时间。比较本章提出的jointBOMP算法与jointBPMMP算法可见，jointBOMP算法的运算时间较低，而jointBPMMP算法的联合重建性能较高。比较HDCS的三种实现方案可见，方案1(簇内jointBOMP重构、簇间jointBOMP重构)的重构时间最低，方案3(簇内jointBPMMP重构、簇间jointBPMMP重构)的联合重构性能最高，而方案2(簇内jointBOMP重构、簇间jointBPMMP重构)能够在簇头运算时间与Sink节点重构性能方面获得较好的折中。5.5本章小结WSN以分布式、自组织的方式灵活地对环境进行感知和监控。CS/DCS是在WSN中减少数据传输量、降低能量消耗、延长网络寿命的有效手段。本章基于分簇WSN的空间结构特性以及传感器采集数据的结构化稀疏特性，研究层次化DCS，在利用簇内DCS联合去除簇内成员采集数据的时间冗余与空间冗余的同时，利用簇间DCS去除同一监测区域内多个簇采集数据的空间冗余。构建了块稀疏簇内JSM，并提出了jointBOMP簇内DCS重构算法；构造了块稀疏簇间JSM，并提出了jointBPMMP簇间DCS重构算法。仿真实验结果表明，在相同采样率下，本章提出的层次化DCS方案能够以不高于普通DCS方案的网络数据传输量获得更高的重建效果；当重建效果相同时，层次化DCS方案能够显著降低簇头节点的数据发送量，降低网络的通信能量开销。49 燕山大学工学硕士学位论文结论压缩感知是近年来信号处理方向的一项新方法，将压缩与采样同时进行。但是压缩感知针对单个信号处理有着极大优势。分布式压缩感知在此基础上对于多信号的压缩与恢复提出了新的见解。分布式压缩感知利用了多信号时间、空间的相关性，针对不同的联合稀疏模型利用独立编码联合解码的思想为多信号的压缩与恢复提供了新的方向。本文在分布式压缩感知的理论基础上，从以下三个方面研究了分布式压缩感知的联合重构：(1)针对混合支撑集模型，研究分布式压缩感知的信号联合重构算法。提出了一种联合向前变步长正交匹配追踪算法，在信号重构过程中根据相邻次迭代重建信号的能量差，自适应地对向前参数进行动态调整，在信号重建精度与算法运行时间之间取得平衡。进而，在联合向前变步长正交匹配追踪算法的基础上，提出了一种联合向前向后的变步长正交匹配追踪算法，有效降低了原子误选的几率，提高了信号重建的精度。实验结果表明，联合向前变步长正交匹配追踪算法的重构性能优于现有的向前参数固定的联合向前正交匹配追踪算法，而联合向前向后的变步长正交匹配追踪算法具有更高的信号联合重构性能。(2)针对多路径匹配追踪算法无法利用稀疏信号的结构信息、需要已知信号的稀疏度、迭代层数较高时计算复杂度较大等问题，提出了一种适用于重构块稀疏信号的块剪枝多路径匹配追踪算法。该算法以原子块作为路径扩张的节点；在一定迭代层数后，引入树枝修剪操作；极大地降低了数据运算量；适用于信号块稀疏度已知或未知的情况。进而，针对多观测向量问题，提出了MMV块剪枝多路径匹配追踪算法，用以实现无线传感器网络小范围内多传感器信号的联合重构。实验结果表明，本文提出的MMV块剪枝多路径匹配追踪算法的联合重构性能优于MMV块A*正交匹配追踪算法与MMV子空间匹配追踪算法、GMMV子空间匹配追踪算法和MMV正交匹配追踪算法。(3)分布式压缩感知是在无线传感器网络中减少数据传输量、降低能量消耗的有效手段。面向分簇WSN，研究层次化分布式压缩感知。建立块稀疏簇内联合稀疏模型，联合描述簇内成员采集数据的时间相关性与空间相关性；建立块稀疏簇间联合稀疏模型，描述同一监测区域内各簇采集数据的空间相关性。基于分簇WSN采集信50 结论号的结构化稀疏特性，提出层次化分布式压缩感知的层次化观测方案以及层次化分布式压缩感知的分级联合重构方案。仿真实验结果表明，与普通分布式压缩感知相比，层次化分布式压缩感知在保证重建信号质量的同时，能够有效减少网络中传输的数据量，减轻簇头的通信负担。本文对分布式压缩感知进行了的研究，但是还有很多问题需要解决。未来的研究方向可从以下两个方面进行：(1)本文中提出的联合向前变步长正交匹配追踪算法、联合向前向后变步长正交匹配追踪算法和MMV块剪枝多路径匹配追踪算法以及层次化分布式压缩感知的分级联合重构方案都同时利用了信号内部和信号之间的相关性，提高了重构效果，但以上算法都是在贪婪追踪算法的基础上，其它凸优化和组合算法能否应用到分布式压缩感知取得更好效果还需要下一步的研究。(2)在本文设计的HDCS方案中，簇头需要重构簇内成员采集数据的公共成分与特有成分，并利用簇间DCS观测继续进行压缩，因此簇头的计算任务要高于普通DCS方案。下一步将主要研究簇头对簇内采集数据的二次观测方案，以减轻簇头的计算负担。此外，如何在稀疏度未知的情况下实现HDCS重构也是一个需要继续研究的问题。分布式压缩感知领域还有很多的地方需要科研人员去努力研究，希望本人的研究，能够为今后的研究人员提供些帮助。51 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攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果(一)参与的科研项目[1]河北省自然科学基金资助项目.课题编号:F2014203183(二)发表的学术论文[1]司菁菁,候肖兰,程银波.面向混合支撑集模型的分布式压缩感知重构算法[J].高技术通讯,2015,25(12):1017-1024.[2]司菁菁,候肖兰,程银波.基于块剪枝多路径匹配追踪的多信号联合重构[J].系统工程与电子技术.（已录用）[3]司菁菁,候肖兰,程银波.适用于无线传感器网络的层次化分布式压缩感知[J].电子与信息学报.（已投稿）57 燕山大学工学硕士学位论文致谢值此论文完成之际，我想借此机会，向母校、老师以及身边的同学朋友表示最真诚的感谢。首先，我衷心的感谢我的导师司菁菁副教授，感谢司老师多年来对我的不断鼓励和耐心帮助，感谢司老师对我研究课题的长期指导和支持。司老师渊博的专业知识，严谨的治学精神，忘我的工作热情，稳重踏实的处事方式和乐观向上的生活态度一直深深的感染和鼓励着我，也鞭策着我在科研的道路上不断地前进。我在科研中的取得的每一点成果都凝聚着司老师无数的汗水。我从导师身上学到了很多经验，对我以后的学习和工作都有很大的帮助。同时，我也要感谢课题组的同学以及身边的其他同学，通过与他们不断地进行学术讨论，使我能够尽快地解决遇到的问题，不断领悟到许多新的学术知识，感谢他们在我徘徊的时候，给予我帮助与鼓励使我倦怠的心重新燃起奋勇向前的勇气，将一次次困难踩在脚下，点点滴滴我将永远记在心底。本课题的研究成果是建立在国内外科研学者所做的大量研究工作基础上的，在此对他们表示感谢。最后，向给与我支持和帮助的所有老师，朋友和同学们表示深深的谢意。58 作者简介作者简介姓名：候肖兰性别：女政治面貌：中共党员出生年月：1988年10月民族：汉族籍贯:河北省石家庄市学历简介：2009年9月考入燕山大学里仁学院电子工程系通信工程专业，2013年6月本科毕业并获得工学学士学位；2013年9月至今，在燕山大学信息科学与工程学院信号与信息处理专业攻读工学硕士学位。主要研究方向：分布式压缩感知。59