三角形五心性质概念整理(超全)

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1、实用标准重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2

2、+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形内到三边距

3、离之积最大的点。6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）文档实用标准内心设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA

4、)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)8、　双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的

5、射影为对应支的顶点。文档实用标准9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2，BP=BQ=(a+c-b)/2,CR=CQ=(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC、∠ABC、∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、P，则BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b，CR/RA=a/c。内切圆的半径（1）在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．（2）在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)（3）任意△ABC中r

6、=（2*S△ABC）/C△ABC（C为周长）文档实用标准外心设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；文档实用标准（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.（4）等边三角形外心与内心为同一点。性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）.性质3：∠GAC+∠B=90°证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）∵A、C、B、P四点共圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性质4：点G是平面ABC上

7、一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC