研究生入学考试数学二试题附标准答案解析

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1、2005年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：=，于是，从而=方法二：两边取对数，，对x求导，得，于是，故=（2）曲线的斜渐近线方程为.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，于是所求斜渐近线方程为（3）.【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令，则=（4）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数

2、即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（5）当时，与是等价无穷小，则k=.【分析】题设相当于已知，由此确定k即可.【详解】由题设，==，得（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（7）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]

3、聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函

4、数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[A]謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为

5、：，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：,故应(A).（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A).(B).(C).(D).[D]【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有==应选(D).（11）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(C).(D).[B]【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（12）设函数则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0

6、是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且，所以x=0为第二类间断点；，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线

7、性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随