高考专题18 圆锥曲线的综合问题（教学案）高考数学（理）考纲解读与热点

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1、2019年高考考纲解读1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．【重点、难点剖析】一、范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．二、定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜

2、截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(1)求E的方程；(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．【解析】解法一　(1)设点M(x，y)，由2＝，得A(x,2y)，由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，即动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得(1＋4k

3、2)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－，

4、BP

5、＝

6、x1－x2

7、＝.由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足

8、BP

9、＝

10、BT

11、，此时直线BP的斜率k＞0，记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，则

12、BT

13、＝，故＝，所以－＝0，即(1＋4k2)＝(1＋4k)，所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，由于k1≠k，因此1＋k2＋k－8k2k＝0，故k2＝＝＋.因为k2＞0，所以8k－1＞0，所以k2＝＋＞

14、.又k＞0，所以k＞.又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠，所以k∈∪.根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．综上所述，k的取值范围为∪∪∪.解法二　(1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．因为2＝，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得(1＋4k2

15、)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－，

16、BP

17、＝

18、x1－x2

19、＝.则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝，由得3y2＋2y－5＋＝0(－1＜y＜1)．　(*)依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解．设f(x)＝3x2＋2x－5＋(－1＜x＜1)，易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点，则整理得即所以得k∈∪∪∪，所以k的取值范围为∪∪∪.【方法技巧】1．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，

20、首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故＋＝＋＝＝0，即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意．综上，存在定点(

21、0,6)，使得∠MQO＝∠NQO.