玻尔理论的推广

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1、崔宏滨原子物理学索莫非对玻尔模型的推广2.5玻尔理论的推广2.5.1量子化通则采用玻尔模型在处理许多物理问题上都获得了极大的成功，但是，玻尔仅仅采用了简单的圆轨道，而实际上，按照牛顿的动力学理论，在核的中心力场中，电子的轨道一般情况下应当是椭圆的。德国物理学家索末菲（ArnoldSommerfeld，1868~1951，图2.5.1）对玻尔理论进行了推广，引入了椭圆轨道，并研究了在椭圆轨道下的量子化条件。图2.5.1索末菲图2.5.2有心力场中的椭圆轨道如图2.5.2，采用极坐标系，描述电子在椭圆轨道中的运动，运动

2、的变量为r和φ。针对坐标r和φ，对应的动量分别为p和p。rφ式（2.2.9）是玻尔的角动量量子化条件，但P⋅2π=nh仅仅适用于圆轨道，而索末菲φ的推广条件则可以适用于一般的有心力场中的周期性运动。为此，他引入广义动量p和广义坐标q，广义动量p和广义坐标q都要满足量子化条件，即î∫pqd=nh（2.5.1）这就是一般情况下的量子化条件，称之为量子化通则。具体写出有心力场中的量子化通则，就是下式⎧pdr==nh,0n,1,2?⎪î∫rrr⎨（2.5.2）⎪pdφ==nh,1n,2,3,?⎩î∫φφφ式中n、n是针对坐

3、标r和φ的量子数，分别称作径量子数和角量子数。rφ根据量子化通则，可以求出椭圆轨道，并得到系统的量子化能量。这样的氢原子模型就是玻尔-索末菲模型。2.5.2椭圆轨道按照有心力场的动力学理论，电子轨道由系统的能量和初始条件决定。能量的表达式为1崔宏滨原子物理学索莫非对玻尔模型的推广22112ZeZ222eEm=−v=m()r"+rφ"−（2.5.3）ee24πεπrr24ε002广义动量p=mrφ"就是系统的角动量，在有心力场中，角动量是守恒的。于是由量φenh子化通则（2.5.2）中的mr2φφ"d=nh，可直接得

4、到mr2φ"=φ，即î∫eφe2π2mrφ"=nZ（2.5.4）eφ则（2.5.3）式可写作mr""22mr4φ"2Zek2mr2()nZ2eeeφE=+−=+−（2.5.5）2222mr4πεr22mrre0e2Ze其中，k=4πε0可解得2d2rk()nZφ=±()E+−（2.5.6）22dtmrmree式中的正负号仅是表示径向运动的方向，对于周期性的椭圆运动而言，不影响系统的状态，因而可以取正号，即drdt=22k()nZφ()E+−22mrmree而2"ddφφdrkdφ2()nnφφZZφ===()E+−

5、=222ddtrdtdrmrmrmreee所以nZφdr2rdφ=（2.5.7）2k()nZφ2(mE+−)e2rr将上述积分化为标准的形式，即222Ze()nnZZmkmk2mk()φφee22e2mE(+−)=2mE+()−+()−ee224πεrrnZZnrr0φφmkmknZee22φ=+[2mE()]−(−)ennZZrφφ2崔宏滨原子物理学索莫非对玻尔模型的推广和nnZZmkφφeddr=−()2rnZrφ则（2.5.7）写作mknZeφd(−)nrZφdφ=（2.5.8）mkmknZee22φ[2mE

6、+−()](−)ennZZrφφ其解为mknZeφ−nrZφφ=−arccos+C（2.5.9）mke22(mE+)enZφ可以选取初始条件使C=0，则有nZmkmkφee2=−2(mE+)cosφ（2.5.10）ernZZnφφ可以得到2()nZφmker=（2.5.11）nZφ212−+mE()1cosφemke这就是一个标准形式的椭圆方程，即可以写作pr=（2.5.12）1c−εosφ其中2()nZφp=（2.5.13）mke椭圆的偏心率为2EnφZ2ε=()+1（2.5.14）mke记椭圆的半长轴、半短轴、

7、焦距分别为a、b、c，则有以下关系：2ca122b=ε，=，ba=−c，a=ab1−ε2p下面求解量子化通则的第一式pdr=nh。î∫rr3崔宏滨原子物理学索莫非对玻尔模型的推广径向动量dsrpmr2φ"−εφinnZeφpm==r"=re222d(φεrr1+cosφ)即−pεφsinddr=φ2(1+εφcos)所以积分式ppnZ2−−εφsinφεφsin2sinφpdr==ddφnZεφîî∫∫r222φî∫2(1++εφcos)r(1εφcos)(1+εφcos)1sinφ2πcosφ==nnZZεsin

8、φεd[

9、−dφ]φφî∫∫0î1++εφcos1εφcos1+εφcos12π=−nnZZ(1−)dφπ=−[2−]=nhφφî∫1c+εφos1−ε2r从而得到n1r+=1n1−2φε即nnr+φ1a==nb1−2φε记nn=+n，称作主量子数，n=1,2,3?rφ于是椭圆的长短轴之为an=（2.5.15）bnφ又由椭圆的基本关系22bmkbea==2p