资源描述：
《工程数学 标量场及其梯度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2标量场及其梯度CQU1.2.1标量场定义及图示V对于区域V内的任意一点r，若有某种f(r)物理量的一个确定的数值或标量函数ƒ(r)与r之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定义o于V内的标量场。标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示；与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t)表示。1.2标量场及其梯度CQU标量场的图示--等值线(面)其方程为fxyzC(,,)=f=2f=1作图原则：f=01）等值线(面)不能相交，f=-1f=32）相邻等值线（面）差值为常数。等值线沿什么方向场变化最快？1.2标量场及其梯度CQU1.2.2梯
2、度与方向导数(1)梯度的导出下图中，由(x,y,z)点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的微分位移dl将导致场函数有一微分增量dfzƒ+dƒ(x+dx,y+dy,z+dz)位移用线元矢量表示：dlƒ(x,y,z)dl=dxe+dye+dzexyzoyx点位移导致ƒ的改变1.2标量场及其梯度CQU标量场的相应微增量dƒ则为：∂f∂f∂fdf=dx+dy+dz∂x∂y∂z∂f∂f∂fdf=(ex+ey+ez)⋅（dxex+dyey+dzez）∂x∂y∂z∂∂∂fffdf=++⋅(eeel)dxyz∂∂∂xyz标量场ƒ(x,y,z)在(x
3、,y,z)点的梯度(gradient)定义为：∂f∂f∂fgradf=∇f=(e+e+e)xyz∂x∂y∂z因此ddff=∇⋅l1.2标量场及其梯度CQUddff=∇⋅l讨论：①上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场的梯度的定义式。②梯度是矢量，它有的大小和方向。df=∇f⋅dl=∇fdlcosθ，在dl为定长的条件下，当θ=0即dl的取向与∇f的方向一致时，dƒ才具有最大值dƒ
4、=∇fdlmaxdfdfmax，或是∇f==dldlmax可见梯度的模是标量场f(x,y,z)在点(x,y,z)的最大变化率，梯度的方向是获得这个最大变化率应沿着
5、的方向。1.2标量场及其梯度CQU(2)方向导数与梯度的关系∂f∂f∂f偏导数∂x、∂y、∂z分别叫做ƒ在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为∂f=(∇f)=∇f⋅exx∂x∂f=(∇f)y=∇f⋅ey∂y∂f=(∇f)=∇f⋅ezz∂z推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l方向的方向导数，则应表示为∂f=(∇f)=∇f⋅ell∂l式中，e是l的单位矢量。l方向导数表示场沿某方向的空间变化率CQU（3）梯度的物理意义•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导
6、数；•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。CQU电位场的负梯度与过该点的等位线垂直数值等于该点的最大方向导数；指向电位减小的方向。CQU（4）哈密顿算子∇（读作del或nabla）直角坐标系中的具体形式为∂∂∂∇=e+e+exyz∂x∂y∂z使用∇算符时注意几点：•单独存在没有任何意义；•∇算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即∇⋅∇=∇2，∇×∇=0。•在不同坐标系中，∇算符有不同的表达形式。CQU（5）梯度的基本运算公式∇c=0（c为常数
7、）∇(cf)=c∇f∇(f±g)=∇f±∇g∇(fg)=g∇f+f∇g()2∇(fg)=g∇f−f∇gg∇f(u)=f′(u)∇uCQU（6）梯度运算的几个基本关系式•相对坐标标量函数f(r−r′)∇f=−∇′f证明：在直角坐标系中f(r−r′)=f(x−x′，y−y′，z−z′)∂f∂f∂f∂f∂f∂f上式重写为ex+ey+ez=−(ex+ey+ez)∂x∂y∂z∂x′∂y′∂z′∂f∂f∂f∂f∂f∂f等式若成立，则应有=−,=−,=−∂x∂x′∂y∂y′∂z∂z′令x−x′=X，y−y′=Y，z−z′=Z，应用复合函数求导法则可得∂∂
8、∂∂∂−ffXfxx()′∂f∂f∂f∂X∂f∂(x−x′)∂f=⋅=⋅=;=⋅=⋅=−∂∂∂∂xxXX∂x∂X∂x′∂X∂x′∂X∂x′∂X∂f∂f∂∂ff∂∂ff即有=−同理可得=−=,−∂x∂x′∂∂yy′′∂∂zz∇f=−∇′fCQU•相对位置矢量R=r−r′的模R=
9、r−r′
10、R1ReR∇==Re∇=−=−R32RRRR证明：在直角坐标中R=(x−x′)e+(y−y′)e+(z−z′)exyz2221/2R=[(x−x′)+(y−y′)+(z−z′)]则∂R1222−1/2=[(x−x′)+(y−y′)+(z−z′)]∂x2∂22
11、2⋅[(x−x′)+(y−y′)+(z−z′)]∂x12(x−x′)(x−x′)=⋅=2RR∂R(y−y′)∂R(z−z′)同理有=,=∂yR∂zRCQU∂R∂R∂R于是∇R=e
