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1、第16卷第3期数学研究与评论Vol.16No.31996年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1996X全平面上的高斯曲率方程王元明王明网(东南大学数学力学系,南京210096)(东南大学微电子中心,南京210096)摘 要 本文用Schauder不动点定理证明了一维K≥0的解、二维K≥0的径向解的存在性,同时证明了当K≤0时,在无穷远处有不同渐近性的K所对应的极大解的渐近性,并给出了径向解的刻画,推广了前人结果.关键词 高斯曲率,无界域
2、问题,半线性椭圆型方程.分类号 AMS(1991)58G03öCCLO175.251 问题的提出设(M,g)为二维Riemann流形,K是M上的光滑函数,问:能否找到与g共形的度量2ug1(g1=Ug,U>0)使得K是(M,g1)的高斯曲率?令U=e,则这个问题化为求方程2u$gu-k+ke=0 在M内(1)的古典解,其中$g为M上关于度量g的Laplace2Beltrami算子,k为M上关于度量g的高斯2曲率.若M=R,g为标准度量,则(1)化为2u2$u+Ke=0 在R内,(2)2其中$为通常
3、的Laplace算子.本文考虑问题(2),此问题有两大困难:(1)R上求解,通常的2uSobolev空间的紧性不再成立;(2)含有e项,要用到类似Trudinger不等式的估计.[1]1972年Sattinger给出了K≤0解不存在的例子,W.M.Ni用上下解方法给出了K≤0[2][3]解的存在性的例子,后来R.McOwen改进了Ni的结果,文[4,5]给出了极大解及部分解集的刻画,[6]中讨论了一维及多维的情况.对于K≥0,文[7,8]证明了解的存在性,文[9]得l-2l到了有解uA=Alnûx
4、û+O(1)所必须的最好参数:A<,l>0且K(x)～ûxû于∞处.2本文的结果如下:定理1一维情况2u1uxx+Ke=0在R上.(3)+∞设K≥0,K(0)>0,∫K(x)dx<+∞,则(3)有无穷多个解,且当ûxû→∞时线性衰减于-∞-∞.定理2对于方程(2),设K≥0,K是径向的(K(x)=K(ûxû)),K(0)>0,且X1993年8月24日收到.94年4月9日收到修改稿.国家自然科学基金资助项目.—393—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,
5、Ltd.Allrightsreserved.+∞1+c∫sK(s)ds<+∞,常数c>0,则有无穷多个径向解,且当ûxû→∞时对数衰减于-0∞.2m2(m-1)-2ûxû2m定理3设K≤0,K～-ûxûe,m>0,于∞,则(2)的极大解U=ûxû+O(1)于∞.m=1即为[4]的引理3.1.定理4在定理3的假设下,再设K是径向的,则有① 对任意A>0,(2)存在唯一解满足uA=Alnûxû+O(1) 于∞.(4)② 设(2)的解为径向的,那么a≡U(定理2给出)或者u≡uA.2③ 对于A>B>0,
6、有uA>uA在R内.2 定理1、2的证明2.1 定理1的证明找方程(3)满足u(0)=B,u′(0)=0的解等价于找如下方程的不动点:x2u(t)u(x)=B-∫(x-t)K(t)edt,x∈R.(5)01∞2B2B先在[0,∞)上找解.取B<0,A≥1满足:∫K(t)edt≤1,∫eK(t)dt≤A.记X为[0,-10+∞)上所有连续函数构成的局部凸的空间,Y={v∈XûAB(x)≤v(x)≤B,x≥0},其中B-10≤x≤1AB(x)=,定义算子T:Tv=u(x).显然T是Y→Y的映射.设{v
7、m}1Y,vm→v在X内,则v∈Y,且有xx(x-t)K(t)ûe2vm(t)2v(t)(x-t)K(t)e2BûTvm-Tvû≤∫-eûdt≤∫dt.00由勒贝格控制收敛定理知Tvm在[0,∞)上的任意紧子区间上一致收敛于Tv.由于x∞2v(t)2B0≥(Tv)′(x)=-∫K(t)edt≥-∫K(t)edt,v∈Y,00所以在[0,∞)上任意紧子区间上TY是一致有界、等度连续的,即TY在Y中是相对紧的.由Schauder不动点定理知T有不动点,即在(0,∞)上有解.在(-∞,0]
8、上解的存在性的证明类似,从略.取x>0且充分大,则1112u(t)2u(t)2u(t)u(x)≤B-∫(x-t)K(t)edt=B+∫tK(t)edt-x∫K(t)edt.00012u(t)由于K(0)>0,则∫K(t)edt>0,则解在+∞处线性衰减于-∞.-∞处可类似证明.012B满足∫K(t)edt≤1的B有无限多个,故(3)的解也有无穷多个.-12.2 定理2的证明找方程(2)满足u(0)=B,u′(0)=0的解等价于求如下方程的不动点:rr2u(s)u(r)=B-∫sln
