数学分析中“一致收敛”的推广及其应用new

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1、数学分析中“一致收敛”的推广及其应用陈英（数理信息学院数学系99（1）班绍兴文理学院浙江绍兴312000）摘要:本文研究数学分析中一致收敛性的推广问题,对函数项级数和含参量积分引入了次一致收敛的概念,在此基础上,得到函数项级数和含参量非正常积分连续的充要条件和求导运算可交换的条件。关键词:一致收敛;次一致收敛；连续引言：+∞通过数学分析的学习我们知道，函数项级数∑un(x)的一致收敛性是保证其和函数具n=1+∞有连续性，可微性，可积性的重要条件，对含参量无穷积分∫f(x,y)dy同样如此；熟知一c+∞+∞致收敛条件较苛刻，基

2、于此提出了函数项级数∑un(x)和含参量无穷积分∫f(x,y)dycn=1次一致收敛的概念。以此概念为基础，推广了数学分析中所学的有关结论。一、主要结论：以下引入次一致收敛性的概念，并证明相应的性质.设级数与非正常积分：∞∑un(x)=u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L(1)n=1+∞I(x)=∫f(x,y)dy(2)c函数项级数（1）的部分和记为：nSn(x)=∑un(x)，n=1,2,3,Li=1定义1.设级数(1)的每一项u(x)定义在[a,b],若对任意ε>0及自然数m,存在有限个n开区间I,I,L,I覆盖了

3、[]a,b,存在一组大于m的自然数N,使得12jin≥N,x∈I,i=1,2,Lj,有ii∞rn(x)=∑un(x)<εk=n+1则称级数(1)在[]a,b上次一致收敛。定义2.设含参量非正常积分(2)定义于[a,b],若对任意ε>0及m>0，存在有限个开区1间I,I,L,I覆盖了[a,b],存在一组大于m的数N,使n≥N,x∈I,i=1,2,Lj,有12jiii+∞n∫∫f(x,y)dy−f(x,y)dy<εcc则称含参量非正常积分(2)在[]a,b上次一致收敛。定理1.级数(1)的每一项u(x)在[a,b]上连续,且(1

4、)的和函数是f(x),则f(x)在[]a,bn上连续的充要条件是:级数(1)在[]a,b上次一致收敛。证明:必要性:设f(x)在[]a,b上连续,x∈[a,b],对任意ε>0,存在δ>0,当01∞εx−x<δ时,有f(x)−f(x)<，又因f(x)=u(x),因而对任意自然数m,存在0100∑n03n=1εN>m,当n≥N时r(x)=f(x)−S(x)<00n00n03由于S(x)在x连续,故存在0<δ<δ,当x−x<δ时,N0010εS(x)−S(x)

5、)+S(x)−S(x)+r(x)<ε0N0N00N00这表明对任意x∈[]a,b,存在x的δ领域I，当x∈I时,有r(x)<ε,当x取遍[]a,b,所00x0x0N00得的开区间族{I}覆盖了[]a,b,根据有限覆盖定理,便得到了必要性的证明。x充分性:对任意x∈[]a,b,ε>0,取m=1,根据级数(1)的次一致收敛性,存在开区间I以0kε及相应的N>m，使x∈I,且r(x)<对x∈I都成立,注意到k0kNKk3f(x)−f(x)≤S(x)−S(x)+r(x)+r(x)0NKNK0NKNK0利用S(x)的连续性,存在δ>0

6、,使(x−δ,x+δ)⊂I,且当x∈(x−δ,x+δ)时，有N00k00KεS(x)−S(x)0,存在δ>0,当01x−x<δ时,有01+∞∞+εI(x)−I(x)=f(x

7、,y)dy−f(x,y)dy<0∫∫0cc3+∞又因f(x,y)dy在[a,b]上收敛，又因x∈[a,b]，所以对任意的m>0，存在N>m,当∫00cn>N时0+∞nεf(x,y)dy−f(x,y)dy<∫c0∫c03n又因f(x,y)为[][a,b×c,+∞)上连续，所以f(x,y)dy在[a,b]上也连续，故存在0<δ<δ∫1c当x−x<δ时，有0nnεf(x,y)dy−f(x,y)dy<∫∫0cc3于是+∞n∫∫f(x,y)dy−f(x,y)dycc+∞+∞nn≤f(x,y)dy−f(x,y)dy+f(x,y)dy−f

8、(x,y)dy+∫∫cc0∫∫c0c+∞nf(x,y)dy−f(x,y)dy<ε∫∫00cc这表明对任意x∈[a,b],存在x的领域I，当x∈I时,有00x0x0+∞n∫∫f(x,y)dy−f(x,y)dy<εcc当x取遍[]a,b,所得开区间族{I}覆盖了[a,b],根据有限覆盖定理,便