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1、第1O卷第l6期2010年6月科学技术与工程V0L10No.16June20101671-1815(2010)16-3921·03ScienceTechnologyandEngineering@2010Sci.Tech.Engng.Cantor集的结构及性质李尚龙杨明顺(渭南职业技术学院,渭南714000;渭南师范学院数学与信息科学系’,渭南714000)摘要应用初等方法,对Cantor集的构造过程进行了研究,揭示了该构造的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对称划分。去掉中央开区间后,对留存的每个闭子区间作同样处理的无限构作过程。通过构造过程,给出了它的一般化叙述及
2、具体构作方法。关键词Cantor集结构性质中图法分类号0152.1;文献标志码ACantor三分集是德国数学家Cantor在研究三角[,】,[吾,l】。继而将这个区间分别三等分,级数问题时构造出来的一个特殊集;它具有若干重对挖去其中的每一个的中间的开区间,⋯⋯.,如此要特征。本文旨在阐述起构造思想的本质特征,将手续一直下去,第n次手续时,去掉的开区间(称为其构造思想一般化,以便更好地把握并运用它来解题。第级区间,每个区间长度为1,计有2个):下面给出本文中涉及的有关定义和引理:疏朗集定义⋯:空间任一邻域内至少包含,:)==(,),)==(,)⋯,厶一,(n)==某点
3、一个邻域,其中不含E的点,则称E为疏朗集。(3丁n-2,3丁n-1)。记G=。这是开集。所以完备集定义]:设Ec,如果E=E,则称C=[0,1]一G是闭集。称C为Cantor三分集。众所为完备集。周知,由此构造的Cantor三分集是非空闭集,测度引理直线上集A是完全集的充要条件是A为0的疏朗完全集(没有内点),且具有连续点集的的余集A是任何两个构成区间都不相邻的开集。势(其基为C)。其中疏朗性和完全性并存是其最本质的奇特性质。正是这些奇特的性质和它的巧1Cantor三分集的构造妙构思为构造一反例提供了启示。将[o,1]三等分,挖去中间的区间。,(1’=2Cantor
4、三分集构造法的本质特征和拓展(,)将剩下的两个区间【0,】,【,1】分别三从Cantor三分集构造,我们可以看出其够作主等分,并挖去(寺,2),k(,8),这要有以下特点:(i)将每一个留存区间三等分,然后移去中央时就剩下四个闭区间:[0,】,[2,3】,开区间;1(ii)第1次移去1个长度为÷的中央开区间,2010年3月1日收到陕西省教育厅基金项目(09JK432)、J渭南师范学院教改项目(JG200903)资助留存下两个等长的不交闭区间,第n次移去2个第一作者简介:李尚龙(1964一),陕西合阳人,研究方向:数论。3922科学技术与工程lO卷质,每次进行三分不是
5、本质的。作为理论探讨,我长度为(即÷)的中央开区间,留存下2个等们也可如下来构造:对于任意给定的正奇数2k+长的互不相交的闭区间;1,第一步,将[0,1]区间2k+1等分,并移去中间的(iii)上述过程无限进行。分析上述特点,我第2,4,⋯,2k开区间们不难发现,再无限的构作过程中。移去中央开区间导致了C的疏朗性,留存闭区间保证了C的/I=2k1一,),=2k1一,),⋯,完全性,而移去的中央开区间的总长度为∑÷×(,2k),^n一1记留存部分为F,即=1,导致了G的测度为0。由此,我们把上述叫o,】u[,1U...u构造方法做如下的一些拓展,能得到一些有趣的结果。
6、[丽2k,1】=uFU..·F。(1)对区问[0,1],类似于Cantor三分集的构第二步,将F中的k+1个闭区间{}:。各造过程,将每一个留存区间分成中心对称的三部分2k+1等分,并移去每一等分闭区间中的第2,(不必是三等分),移去中央开区间。第一步,移去4.⋯.2k个中间开间长度(o<≤1)的中央开区间;第二步,再留存,(,南),的两个闭区间的每一个中,移去长度为Ot的中央开(面,面,区间I..·;第n步移去的是2个长度为O1的中央lok,一(I啬(2k+1),’(2k+1))J;开区间,留存2个等长的不交闭区间;⋯,如此继续r2下去,可得一列移去的开区间,记其
7、为G(开集),则11,1:一(\(2k+1),’(2k+1))』,’⋯~lr2l,k:一的总长度为。而C=[0,1]一G是一个测度为f(±!)±墨二(墨±12±\⋯.1一的疏朗完全集。当=1时,即为Cantor三分(2k+1)’(2k+1)J’集。更一般的,对于区间[o,b]类似于上述操作,=,(,),⋯,第次移去的是2个长度为(0<≤b一口)f2后(2k+1)+2k一12(2k+1)十2k、的中央开区间,留存2个等长的不交闭区间。由I(2k+1)’(2k+1)/。此,我们可以得到一个测度为b一0一Ot的疏朗完全再记F中的留存部分为F,即集。F22,娩(2)对于
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