广义Cantor集的自相似性

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1、中国科学：数学2014年第44卷第9期：945～956nk．springer．commath．scichina．corn◇盖。2A杂PRESS广义Cantor集的自相似性孔德荣扬州I大学数学科学学院，扬州225002E—mail：derongkong@126．COIll收稿日期：2013—07—13；接受日期：2014—05—04国家自然科学基金(批准号：11326207和10971069)、教育部留学回国人员科研启动基金(批准号：202100019)、江苏省青年科学基金(批准号：BK20130433)和扬州大学创新培育基金(批准号：2013CNJ004)资助项目摘要本文考虑一类广义

2、Cantor集，。。、r={∑：d∈D≥1}_n=1J的自相似性，其中0<卢

3、d)oo：1)：：1iram--+o．。do···od(0)=‘>：d．(1．2)—n=1对任意的n≥1，我们令D为z的非空有限子集，并令=D表示所有无穷序列{)构成的集合，其中d∈D对所有的n≥1都成立．下面定义．型广义Cantor集r为在编．码映射丌下的像集，即一)={薹n：dnEDn对所有的佗≥成立(1．3)我们假定符号集D(n≥I)一致有界，即sup{IdI：d∈D，竹≥1)<+。。．(1．4)孔德荣：广义Cantor集的自相似性我们同样可以通过几何的方法来解释=D一型广义Caztor集F为了说明其几何构造我们令7：=inf{d：d∈Dn，n≥1)，9：=sup{d：d∈D，

4、礼≥1)．根据(1．4)，我们有9>一。。，入9<0(3．从而所有的符号集D{，79+1⋯．，入9l，礼≥1．首先，我们定义基本区间=h9／(1一)，9／(1一)】_然后，归纳地定义=U如(一)dED其中是(1．1)中定义的压缩映射．显然，{)。是中的一个单调递减的紧集序列．此时，广义Cantor集r．9可表示为oo9=，n．n：O例如，令=1／5，D1={0，2)，D2={1，2)，且当n≥3时D={0，1，2)，则：0，：2．图1中描绘了广义Cantor集rl／59构造过程中的前四层Fo⋯．，．映射S：称为自相似映射，如果存在r，0<<1，b∈使得S()：rz+b对所有的X∈都成

5、立，这里r称为S的压缩比．若{()=rjx+by：J∈J}是一组自相似压缩映射，其中J为有限指标集则存在唯一的紧集A满足该紧集A称为由迭代函数系统(IFS){s，：J∈l，)生成的自相似集．特别地，若对所有的i，∈J都有=r，则称A为齐次生成的自相似集．对Cantor集平移交的研究一直以来受到数学很多领域的科研工作者的关注[1—71．最近，邓国泰等人Is]研究了经典三分Cantor集平移交的自相似．事实上，他们给出了：圆D一型广义Cantor集r1／3,9为自相似集的刻画，其中D为集合{0，2)的非空子集．后来，这一结果被文献f9，101推』一到齐次Cantor集平移交r，{0，1⋯

6、Ⅳ一1)。。n(F，f0，1⋯Jv一1，。。+)的情形，其中N≥2为整数，0<<：／N且t∈【-1，1]具有唯一的{0，士1，⋯，土(Ⅳ一1))一编码．本质上他们给出了广义Cantor集r为自上1lO百13211123l21255025102550252图1=Dn—NF-SZCantor集r卢，构造过程中的前四层Fo，n，，F3，其中=1／5，D1=(0，2'D2={1，2】-且当n≥3时都有D=．【0，1，2}946中国科学：数学第44卷第9期相似集的充分必要条件，其中0<<1／N且所有的符号集J[){0，1⋯．，Ⅳ一l}，礼≥1均为连续的，即存在7n≥0使得D={，+1⋯．，+}

7、z．然而，当其中某个符号集不连续时，对于广义Cantor集F口．9的自相似性我们尚不清楚．本文的结构如下：第2节的定理2．2陈述本文的主要结果，其证明将在第3节中给出．最后在第4节将应用定理2．2考虑广义Cantor集交的自相似性，给出其交集为齐次生成自相似集的充分必要条件．2预备知识及主要结果给定0<<1，令FZ，9为=o1D一型广义Cantor集．回顾(1．2)和(1．3)，丌是一个从到r．的满射，且∞丌({)oo：)=：，=1此时，无穷序列{dn)1