2006青少年数学国际城市邀请赛

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1、万方数据32中等数学2006青少年数学国际城市邀请赛2006青少年数学国际城市邀请赛于2006年7月10日至14日在中国浙江省温州市举行。本届青少年数学国际城市邀请赛由中国数学会奥林匹克委员会主办，温州市教育局、温州市数学家摇篮工程理事会、温州中学承办，温州实验中学、乐清市乐成公立寄宿学校协办。来自新加坡、南非、印度、泰国、菲律宾及中国大陆、香港、澳门和台湾地区的37支代表队参加了个人赛和团体赛。命题组成员有：熊斌(华东师范大学)、朱华伟(广州大学)、刘江枫(加拿大阿尔伯特大学)、陶平生(江西科技师范学院)、张正杰(华中师范大学)、冯志刚(上海中学)、郑

2、仲义(上海市格致中学)、陈相友(浙江省温州中学)。个人赛一、填空题(每小题5分，共60分)1．小琳用计算器求3个正整数a、b、ci的表达式坠坐的值．她依次按了o，+，b，C4-，c，=，得到数值11．而当她依次按b，+，a，4-，c，=时，惊讶地发现得到的数值是14．这时，她才明白计算器是先做除法再做加法．于是，她依次按(，a，+，b，)，÷，c，=，得到了正确的结果．则正确结果是——．2．平面上有一线段彻的长度为5．则在此平面上与点A、曰距离分别为2、3的直线有——条．3．如图1，已知△ABC，D是BC延长线上的点，F是AB延长线上的点，么ACD的平分

3、线交BA的延长线于点E，么FBC的平分线交AC的延长线于点G．若CE=BC=BG，则图1么ABC的度数是——．4．老师说：“数口、b满足关系式8+b—ab=1．已知。不是整数，则对b可得出怎样的结论?”学生甲说：“b也不是整数．”学生乙说：“b必定是正整数．”学生丙说：“b必定是负整数．”三位同学说法正确的是——．5．如图2，在平行四边形ABCD中，P是△BAD内一点．若△PAB的面积为2，APCB的面积为5，则APBD的面积为AD图2C6．非零实数tTl,、b、c、x、扎z满足关系式鱼一上一三。n—b—c‘则磊著嵌簪藏哥=一．7．一辆汽车下坡速度为72

4、km／h，在平地上的速度为63km／h，上坡速度为56km／h．汽车从A地到日地用了4h，而返程用了4h40min．则AB两地相距——km．8．如图3，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为边AB、AD的中点，G是CF上的一点，使得3CG=2GF．则△BEG的面积是图3万方数据2007年第l期339．已知实数戈、Y满足1(2x+1)2+Y2+(，一2x)2=妻．J则石+Y的值是——。10．一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排成一列，分别编号为l，2，⋯．老板接到将一份文件撕碎的任务，他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员．当第n号雇员每次

5、接到前一号雇员传来的一迭纸时，都要从中取出n块，再把每块分成5块，然后再传给下一号雇员．若第k号雇员接到前一号雇员传来的总块数少于2006块，但传给下一号雇员的总块数超过2006块，则k是——．11．从一个有36条棱的凸多面体P切去以其顶点为顶点的一些棱锥，得到一个新的凸多面体Q，且这些被切去的棱锥的底面所在平面在P上或内部互不相交．则凸多面体Q的棱数的最大值是——．12．已知正整数m、n满足厂i二丽+厂丽：n．则n的最大值是——．二、计算及证明题(每小题20分，共60分)1．一座大楼有4部电梯，每部电梯可停靠三层(不一定是连续三层，也不一定停最底层)．

6、对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠．请问这座大楼最多有几层?2．将四个2×4的长方形排成如图4所示的形状．则覆盖这个图形的最小圆的半径是多少?3．把1，2，⋯，30这30个数分成k个组(每厂、＼／图4个数只能在一个组中出现)，使得每一个组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数．求k的最小值．团体赛1．老师说：“要在一个三边长为2、2、2菇的三角形内部放置一个尽可能大的圆，则正实数菇的值应是多少?”学生甲说：“我想笫=1．”学生乙说：“我认为搿=√2．”学生丙说：“你们的回答都不对．”他们三人谁的回答是正确的?为什么?2．·个三角形可被剖分成两

7、个等腰三角形．原三角形的一个内角为360，求原三角形最大内角的所有可能值．3．四个单位正方形以边对边相连接而成，可以拼成如图5的五种不同的形状．用一片“L”形(图5中第一个)分别与其余四个中的一片拼成轴对称图形．请绘出所有可能的组合．．口吧凸图54．一枚骨牌是由两个单位正方形以边对边相连接而成，在每个正方形内标记上数字1、2,3、4或5，所以，共可得标号为11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15枚不同的骨牌．将这15枚骨牌排成一个如图6的5×6的长方形，每枚骨牌的边界已经擦除．请试着把这些骨牌的边界重

8、新画出来．5．“幸运数”是指一个等于其各位数码(十进制)和的19倍的正整数．求出